(1) $\frac{dy}{dx}$ を求める。 (2) $t$ を消去して、$x, y$ の関係式を求める。

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1. 問題の内容

問題は主に以下の2つに分かれています。

1. パラメータ表示された関数 $x = 3\cos t + 1$, $y = 2\sin t - 3$ について、

(1) $\frac{dy}{dx}$ を求める。

(2) $t$ を消去して、$x, y$ の関係式を求める。

2. 不定積分を求める問題が複数あります。具体的には、

(1) $\int (2x^3 + 6x^2 - 3) dx$

(2) $\int (2\sin x - 3\cos x) dx$

(3) $\int e^x dx$

(4) $\int \frac{1}{x} dx$

(5) $\int x^2(x^3-1)^{30} dx$

(6) $\int \sin(5x-2) dx$

(7) $\int \frac{\log x}{x} dx$

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2. 解き方の手順

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1. パラメータ表示された関数

(1) $\frac{dy}{dx}$ を求める。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}$ を用います。

$\frac{dx}{dt} = -3\sin t$

$\frac{dy}{dt} = 2\cos t$

よって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{2\cos t}{-3\sin t} = -\frac{2}{3} \cot t$

(2) $t$ を消去して、$x, y$ の関係式を求める。

$x = 3\cos t + 1$ より、 $\cos t = \frac{x-1}{3}$

$y = 2\sin t - 3$ より、 $\sin t = \frac{y+3}{2}$

$\sin^2 t + \cos^2 t = 1$ より、

$(\frac{y+3}{2})^2 + (\frac{x-1}{3})^2 = 1$

$\frac{(x-1)^2}{9} + \frac{(y+3)^2}{4} = 1$

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2. 不定積分

(1) $\int (2x^3 + 6x^2 - 3) dx$

$= 2 \int x^3 dx + 6 \int x^2 dx - 3 \int dx$

$= 2 \cdot \frac{x^4}{4} + 6 \cdot \frac{x^3}{3} - 3x + C$

$= \frac{1}{2}x^4 + 2x^3 - 3x + C$

(2) $\int (2\sin x - 3\cos x) dx$

$= 2 \int \sin x dx - 3 \int \cos x dx$

$= 2(-\cos x) - 3(\sin x) + C$

$= -2\cos x - 3\sin x + C$

(3) $\int e^x dx$

$= e^x + C$

(4) $\int \frac{1}{x} dx$

$= \log |x| + C$

(5) $\int x^2(x^3-1)^{30} dx$

$u = x^3 - 1$ とおくと、$du = 3x^2 dx$ より、$x^2 dx = \frac{1}{3} du$

$\int x^2(x^3-1)^{30} dx = \int u^{30} \cdot \frac{1}{3} du$

$= \frac{1}{3} \int u^{30} du$

$= \frac{1}{3} \cdot \frac{u^{31}}{31} + C$

$= \frac{1}{93} (x^3 - 1)^{31} + C$

(6) $\int \sin(5x-2) dx$

$u = 5x-2$ とおくと、$du = 5 dx$ より、$dx = \frac{1}{5} du$

$\int \sin(5x-2) dx = \int \sin u \cdot \frac{1}{5} du$

$= \frac{1}{5} \int \sin u du$

$= \frac{1}{5} (-\cos u) + C$

$= -\frac{1}{5} \cos (5x - 2) + C$

(7) $\int \frac{\log x}{x} dx$

$u = \log x$ とおくと、$du = \frac{1}{x} dx$

$\int \frac{\log x}{x} dx = \int u du$

$= \frac{u^2}{2} + C$

$= \frac{(\log x)^2}{2} + C$

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3. 最終的な答え

1. (1) $\frac{dy}{dx} = -\frac{2}{3} \cot t$

(2) $\frac{(x-1)^2}{9} + \frac{(y+3)^2}{4} = 1$

2. (1) $\frac{1}{2}x^4 + 2x^3 - 3x + C$

(2) $-2\cos x - 3\sin x + C$

(3) $e^x + C$

(4) $\log |x| + C$

(5) $\frac{1}{93} (x^3 - 1)^{31} + C$

(6) $-\frac{1}{5} \cos (5x - 2) + C$

(7) $\frac{(\log x)^2}{2} + C$