次の二重積分を計算します。 (2) $f(x, y) = x + \sin y$, $R = [0, 1] \times [0, \pi]$

1. 問題の内容

次の二重積分を計算します。

(2) $f(x, y) = x + \sin y$, $R = [0, 1] \times [0, \pi]$

2. 解き方の手順

二重積分を計算するために、まず $x$ について積分し、次に $y$ について積分します。積分範囲は $R = [0, 1] \times [0, \pi]$ ですから、

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\iint_R f(x, y) dA = \int_0^{\pi} \int_0^1 (x + \sin y) dx dy

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まず、$x$ について積分します。

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\int_0^1 (x + \sin y) dx = \left[\frac{1}{2}x^2 + x \sin y\right]_0^1 = \frac{1}{2} + \sin y

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次に、$y$ について積分します。

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\int_0^{\pi} \left(\frac{1}{2} + \sin y\right) dy = \left[\frac{1}{2}y - \cos y\right]_0^{\pi} = \left(\frac{1}{2}\pi - \cos \pi\right) - \left(0 - \cos 0\right) = \frac{1}{2}\pi - (-1) - (0 - 1) = \frac{1}{2}\pi + 1 + 1 = \frac{\pi}{2} + 2

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3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{2} + 2$