与えられた関数について、$x$がある値に近づくときの、無限小または無限大の位数を求める。

1. 問題の内容

与えられた関数について、$x$がある値に近づくときの、無限小または無限大の位数を求める。

2. 解き方の手順

(1) $\frac{(1+x)^2}{1+2x} - 1$ ($x \to 0$)

$\frac{(1+x)^2}{1+2x} - 1 = \frac{1+2x+x^2}{1+2x} - 1 = \frac{1+2x+x^2 - (1+2x)}{1+2x} = \frac{x^2}{1+2x}$

$x \to 0$のとき、$\frac{x^2}{1+2x} \approx x^2$となるので、位数は2。

(2) $\sqrt{x^2+1}-1$ ($x \to 0$)

$\sqrt{x^2+1}-1 = \frac{(\sqrt{x^2+1}-1)(\sqrt{x^2+1}+1)}{\sqrt{x^2+1}+1} = \frac{x^2+1-1}{\sqrt{x^2+1}+1} = \frac{x^2}{\sqrt{x^2+1}+1}$

$x \to 0$のとき、$\frac{x^2}{\sqrt{x^2+1}+1} \approx \frac{x^2}{\sqrt{1}+1} = \frac{x^2}{2}$となるので、位数は2。

(3) $\sin^2 x$ ($x \to 0$)

$x \to 0$のとき、$\sin x \approx x$なので、$\sin^2 x \approx x^2$となるので、位数は2。

(4) $\frac{(1+x)(1+x^3)}{(1+x^2)(1+x^4)} - x$ ($x \to \infty$)

$\frac{(1+x)(1+x^3)}{(1+x^2)(1+x^4)} - x = \frac{1+x+x^3+x^4}{1+x^2+x^4+x^6} - x = \frac{1+x+x^3+x^4 - x(1+x^2+x^4+x^6)}{1+x^2+x^4+x^6} = \frac{1+x+x^3+x^4-x-x^3-x^5-x^7}{1+x^2+x^4+x^6} = \frac{1+x^4-x^5-x^7}{1+x^2+x^4+x^6} = \frac{x^7(-1 - x^{-3} + x^{-6} + x^{-7})}{x^6(1 + x^{-2} + x^{-2} + x^{-6})} = -x (x \to \infty)$

したがって無限大であり、位数は1。

(5) $\sqrt{x^4+x+1}$ ($x \to \infty$)

$\sqrt{x^4+x+1} = \sqrt{x^4(1+\frac{1}{x^3}+\frac{1}{x^4})} = x^2 \sqrt{1+\frac{1}{x^3}+\frac{1}{x^4}}$

$x \to \infty$のとき、$\sqrt{x^4+x+1} \approx x^2$となるので、位数は2。

(6) $\sqrt{x^2+1}-x$ ($x \to \infty$)

$\sqrt{x^2+1}-x = \frac{(\sqrt{x^2+1}-x)(\sqrt{x^2+1}+x)}{\sqrt{x^2+1}+x} = \frac{x^2+1-x^2}{\sqrt{x^2+1}+x} = \frac{1}{\sqrt{x^2+1}+x} = \frac{1}{x(\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}+1)}$

$x \to \infty$のとき、$\sqrt{x^2+1}-x \approx \frac{1}{x(\sqrt{1}+1)} = \frac{1}{2x}$となるので、位数は1。

3. 最終的な答え

(1) 2

(2) 2

(3) 2

(4) 1

(5) 2

(6) 1