定積分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos(x - \frac{\pi}{4}) \, dx$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos(x - \frac{\pi}{4}) \, dx$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\cos(x - \frac{\pi}{4})$ の積分を計算します。

$\cos(x)$ の積分は $\sin(x)$ であることを利用します。

$\int \cos(x - \frac{\pi}{4}) \, dx = \sin(x - \frac{\pi}{4}) + C$

（Cは積分定数）

次に、積分範囲 $[0, \frac{\pi}{2}]$ で評価します。

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos(x - \frac{\pi}{4}) \, dx = \left[ \sin(x - \frac{\pi}{4}) \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}$

$= \sin(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4}) - \sin(0 - \frac{\pi}{4})$

$= \sin(\frac{\pi}{4}) - \sin(-\frac{\pi}{4})$

$\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ であり、$\sin(-\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ であるから、

$= \frac{\sqrt{2}}{2} - (-\frac{\sqrt{2}}{2})$

$= \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}$

$= \sqrt{2}$

3. 最終的な答え

$\sqrt{2}$