定積分 $\int_{1}^{2} x\sqrt{x-1} dx$ を計算します。ヒントとして、$t = \sqrt{x-1}$ という変数変換が与えられています。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{1}^{2} x\sqrt{x-1} dx$ を計算します。ヒントとして、$t = \sqrt{x-1}$ という変数変換が与えられています。

2. 解き方の手順

まず、与えられた変数変換 $t = \sqrt{x-1}$ を使います。

この式から、$t^2 = x-1$ となり、$x = t^2 + 1$ が得られます。

$x$ を $t$ で微分すると $\frac{dx}{dt} = 2t$ なので、$dx = 2t dt$ となります。

次に、積分範囲を変更します。

$x = 1$ のとき、$t = \sqrt{1-1} = 0$ です。

$x = 2$ のとき、$t = \sqrt{2-1} = 1$ です。

したがって、積分範囲は $0$ から $1$ になります。

以上の結果を用いて、元の積分を $t$ に関する積分に変換します。

$\int_{1}^{2} x\sqrt{x-1} dx = \int_{0}^{1} (t^2 + 1)t \cdot 2t dt = 2\int_{0}^{1} (t^4 + t^2) dt$

次に、積分を計算します。

$2\int_{0}^{1} (t^4 + t^2) dt = 2 \left[ \frac{t^5}{5} + \frac{t^3}{3} \right]_{0}^{1} = 2 \left( \frac{1}{5} + \frac{1}{3} \right) = 2 \left( \frac{3}{15} + \frac{5}{15} \right) = 2 \left( \frac{8}{15} \right) = \frac{16}{15}$

3. 最終的な答え

$\frac{16}{15}$