関数 $f(x) = \int_1^x (t-1)(t-2) dt$ の極大値を求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \int_1^x (t-1)(t-2) dt$ の極大値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ を微分して、$f'(x)$ を求める。

$f(x)$ は積分で定義された関数であるため、微積分学の基本定理を用いる。

微積分学の基本定理によれば、$f(x) = \int_a^x g(t) dt$ のとき、$f'(x) = g(x)$ である。

したがって、$f'(x) = (x-1)(x-2) = x^2 - 3x + 2$ となる。

次に、$f'(x) = 0$ となる $x$ を求める。

$f'(x) = x^2 - 3x + 2 = (x-1)(x-2) = 0$ より、$x=1, 2$ である。

次に、$f'(x)$ の符号を調べ、$f(x)$ の増減を調べる。

$x<1$ のとき、$f'(x) > 0$

$1<x<2$ のとき、$f'(x) < 0$

$x>2$ のとき、$f'(x) > 0$

したがって、$f(x)$ は、$x=1$ で極大値をとり、$x=2$ で極小値をとる。

$f(x)$ の極大値は、$x=1$ のときの $f(1)$ である。

$f(1) = \int_1^1 (t-1)(t-2) dt = 0$

ただし、問題文をよく読むと、定義域は明示されていないものの、$f(x)$の積分範囲が$[1, x]$となっているため、$x \ge 1$であることが暗黙の仮定となっていると考えられる。

$x=1$で極大値をとることはわかったので、$x=1$での値を計算する必要はないが、一応書いておいた。

したがって、$f(x)$ の極大値は、$f(1)=0$ である。

3. 最終的な答え

極大値：0