曲線 $C: y = x^3 - 3x^2 + x + 1$ と直線 $l: y = -x + 1$ で囲まれた部分の面積を求める問題です。

1. 問題の内容

曲線 $C: y = x^3 - 3x^2 + x + 1$ と直線 $l: y = -x + 1$ で囲まれた部分の面積を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、曲線 $C$ と直線 $l$ の交点を求めるために、方程式 $x^3 - 3x^2 + x + 1 = -x + 1$ を解きます。

$x^3 - 3x^2 + 2x = 0$

$x(x^2 - 3x + 2) = 0$

$x(x - 1)(x - 2) = 0$

したがって、交点の $x$ 座標は $x = 0, 1, 2$ です。

次に、区間 $[0, 1]$ と $[1, 2]$ で曲線と直線の上下関係を調べます。

$x \in (0, 1)$ のとき、例えば $x = 0.5$ を代入すると、

$y_C = (0.5)^3 - 3(0.5)^2 + 0.5 + 1 = 0.125 - 0.75 + 0.5 + 1 = 0.875$

$y_l = -0.5 + 1 = 0.5$

したがって、区間 $[0, 1]$ では $y_C > y_l$ です。

$x \in (1, 2)$ のとき、例えば $x = 1.5$ を代入すると、

$y_C = (1.5)^3 - 3(1.5)^2 + 1.5 + 1 = 3.375 - 6.75 + 1.5 + 1 = -0.875$

$y_l = -1.5 + 1 = -0.5$

したがって、区間 $[1, 2]$ では $y_C < y_l$ です。

求める面積 $S$ は、積分を用いて次のように計算できます。

$S = \int_0^1 (x^3 - 3x^2 + x + 1 - (-x + 1)) dx + \int_1^2 (-x + 1 - (x^3 - 3x^2 + x + 1)) dx$

$S = \int_0^1 (x^3 - 3x^2 + 2x) dx + \int_1^2 (-x^3 + 3x^2 - 2x) dx$

それぞれの積分を計算します。

$\int_0^1 (x^3 - 3x^2 + 2x) dx = [\frac{1}{4}x^4 - x^3 + x^2]_0^1 = \frac{1}{4} - 1 + 1 = \frac{1}{4}$

$\int_1^2 (-x^3 + 3x^2 - 2x) dx = [-\frac{1}{4}x^4 + x^3 - x^2]_1^2 = (-\frac{1}{4}(16) + 8 - 4) - (-\frac{1}{4} + 1 - 1) = (-4 + 8 - 4) - (-\frac{1}{4}) = 0 + \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$

したがって、求める面積は $S = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$ です。

3. 最終的な答え

求める面積は $\frac{1}{2}$ です。