$D_1 = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 | 2 \le x \le 4, 0 \le y \le x^3\}$ で定義される領域 $D_1$ の面積を求めます。

1. 問題の内容

$D_1 = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 | 2 \le x \le 4, 0 \le y \le x^3\}$ で定義される領域 $D_1$ の面積を求めます。

2. 解き方の手順

領域 $D_1$ の面積は、重積分を用いて計算できます。

$x$ の範囲は $2 \le x \le 4$ であり、$y$ の範囲は $0 \le y \le x^3$ であるため、面積 $S$ は次のように計算されます。

$S = \int_{2}^{4} \int_{0}^{x^3} dy dx$

まず、$y$ に関する積分を実行します。

$\int_{0}^{x^3} dy = [y]_{0}^{x^3} = x^3 - 0 = x^3$

次に、$x$ に関する積分を実行します。

$S = \int_{2}^{4} x^3 dx = [\frac{1}{4}x^4]_{2}^{4} = \frac{1}{4}(4^4 - 2^4) = \frac{1}{4}(256 - 16) = \frac{1}{4}(240) = 60$

3. 最終的な答え

$D_1$ の面積は 60 です。