関数 $f(x) = x^3 - 3ax + a$ が、区間 $0 \le x \le 1$ において $f(x) \ge 0$ を満たすような定数 $a$ の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^3 - 3ax + a$ が、区間 $0 \le x \le 1$ において $f(x) \ge 0$ を満たすような定数 $a$ の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、関数 $f(x)$ の最小値を考えます。$f(x)$ を微分して極値を求めます。

$f'(x) = 3x^2 - 3a$

$f'(x) = 0$ となるのは、

$3x^2 - 3a = 0$

$x^2 = a$

$x = \pm \sqrt{a}$

$0 \le x \le 1$ の範囲で $f(x) \ge 0$ となる $a$ の範囲を求めます。

(i) $a < 0$ のとき、$f'(x) = 3x^2 - 3a > 0$ なので、$f(x)$ は単調増加です。したがって、$f(0) \ge 0$ であれば $0 \le x \le 1$ で $f(x) \ge 0$ が成り立ちます。

$f(0) = 0^3 - 3a(0) + a = a$

$a \ge 0$ となりますが、$a < 0$ と矛盾するので、この場合は解なしです。

(ii) $a = 0$ のとき、$f(x) = x^3$ となり、$0 \le x \le 1$ で $f(x) \ge 0$ を満たします。したがって、$a = 0$ は解です。

(iii) $0 < a \le 1$ のとき、$f'(x) = 0$ となるのは $x = \sqrt{a}$ です。$0 < \sqrt{a} \le 1$ であり、$f'(\sqrt{a}) = 0$ となります。

$f(x)$ は $x = \sqrt{a}$ で極小値をとり、$x = \sqrt{a}$ が区間 $[0, 1]$ に含まれるので、区間 $[0, 1]$ での最小値は $f(\sqrt{a})$ です。したがって、$f(\sqrt{a}) \ge 0$ であれば $0 \le x \le 1$ で $f(x) \ge 0$ が成り立ちます。

$f(\sqrt{a}) = (\sqrt{a})^3 - 3a(\sqrt{a}) + a = a\sqrt{a} - 3a\sqrt{a} + a = -2a\sqrt{a} + a \ge 0$

$a - 2a\sqrt{a} \ge 0$

$a(1 - 2\sqrt{a}) \ge 0$

$0 < a \le 1$ より $a > 0$ なので、

$1 - 2\sqrt{a} \ge 0$

$1 \ge 2\sqrt{a}$

$\frac{1}{2} \ge \sqrt{a}$

$\frac{1}{4} \ge a$

したがって、$0 < a \le \frac{1}{4}$ です。

(iv) $a > 1$ のとき、$f'(x) = 0$ となるのは $x = \sqrt{a}$ であり、$x > 1$ なので、区間 $[0, 1]$ では $f'(x) < 0$ となります。したがって、$f(x)$ は単調減少です。$f(1) \ge 0$ であれば $0 \le x \le 1$ で $f(x) \ge 0$ が成り立ちます。

$f(1) = 1^3 - 3a(1) + a = 1 - 3a + a = 1 - 2a \ge 0$

$1 \ge 2a$

$a \le \frac{1}{2}$

しかし、$a > 1$ なので、この場合は解なしです。

(ii) と (iii) を合わせると、$0 \le a \le \frac{1}{4}$ となります。

3. 最終的な答え

$0 \le a \le \frac{1}{4}$