与えられた4つの関数について、その増減を調べ、グラフを描く問題です。 (1) $y = \frac{1}{x^2+4}$ (2) $y = x\sqrt{3-x}$ (3) $y = (x+1)e^{-x}$ ($-2 \le x \le 2$) (4) $y = \frac{\log x}{x}$ ($0 < x \le e^2$)

1. 問題の内容

与えられた4つの関数について、その増減を調べ、グラフを描く問題です。

(1) $y = \frac{1}{x^2+4}$

(2) $y = x\sqrt{3-x}$

(3) $y = (x+1)e^{-x}$ ($-2 \le x \le 2$)

(4) $y = \frac{\log x}{x}$ ($0 < x \le e^2$)

2. 解き方の手順

各関数について、以下の手順で増減を調べ、グラフを描きます。

(1) $y = \frac{1}{x^2+4}$

1. 定義域：すべての実数

2. 導関数を求める：

$y' = \frac{-2x}{(x^2+4)^2}$

3. $y' = 0$ となる $x$ を求める：

$-2x = 0$ より $x = 0$

4. 増減表を作成する：

$x < 0$ のとき $y' > 0$ (増加)

$x > 0$ のとき $y' < 0$ (減少)

$x = 0$ のとき $y' = 0$ (極大値)

5. 極値を求める：

$x = 0$ のとき $y = \frac{1}{4}$ (極大値)

6. $x \to \pm \infty$ のとき $y \to 0$

7. グラフを描く：$x = 0$ で極大値 $\frac{1}{4}$ をとり、$x$軸に漸近する左右対称なグラフになる。

(2) $y = x\sqrt{3-x}$

1. 定義域：$3-x \ge 0$ より $x \le 3$

2. 導関数を求める：

$y' = \sqrt{3-x} + x \cdot \frac{-1}{2\sqrt{3-x}} = \frac{2(3-x)-x}{2\sqrt{3-x}} = \frac{6-3x}{2\sqrt{3-x}} = \frac{3(2-x)}{2\sqrt{3-x}}$

3. $y' = 0$ となる $x$ を求める：

$2-x = 0$ より $x = 2$

4. 増減表を作成する：

$x < 2$ のとき $y' > 0$ (増加)

$x > 2$ のとき $y' < 0$ (減少)

$x = 2$ のとき $y' = 0$ (極大値)

5. 極値を求める：

$x = 2$ のとき $y = 2\sqrt{3-2} = 2$ (極大値)

6. $x = 3$ のとき $y = 0$

7. $x=0$のとき $y=0$

8. グラフを描く：$x = 2$ で極大値 $2$ をとり、$x=3$と$x=0$で$y=0$となる。$x \le 3$の範囲でグラフを描く。

(3) $y = (x+1)e^{-x}$ ($-2 \le x \le 2$)

1. 定義域：$-2 \le x \le 2$

2. 導関数を求める：

$y' = e^{-x} + (x+1)(-e^{-x}) = e^{-x} - (x+1)e^{-x} = -xe^{-x}$

3. $y' = 0$ となる $x$ を求める：

$-x = 0$ より $x = 0$

4. 増減表を作成する：

$x < 0$ のとき $y' > 0$ (増加)

$x > 0$ のとき $y' < 0$ (減少)

$x = 0$ のとき $y' = 0$ (極大値)

5. 極値を求める：

$x = 0$ のとき $y = (0+1)e^{-0} = 1$ (極大値)

6. $x = -2$ のとき $y = (-2+1)e^{-(-2)} = -e^2 \approx -7.389$

7. $x = 2$ のとき $y = (2+1)e^{-2} = 3e^{-2} \approx 0.406$

8. グラフを描く：$x=0$ で極大値 $1$ をとり、$-2 \le x \le 2$ の範囲でグラフを描く。

(4) $y = \frac{\log x}{x}$ ($0 < x \le e^2$)

1. 定義域：$0 < x \le e^2$

2. 導関数を求める：

$y' = \frac{\frac{1}{x} \cdot x - \log x \cdot 1}{x^2} = \frac{1-\log x}{x^2}$

3. $y' = 0$ となる $x$ を求める：

$1-\log x = 0$ より $\log x = 1$, よって $x = e$

4. 増減表を作成する：

$x < e$ のとき $y' > 0$ (増加)

$x > e$ のとき $y' < 0$ (減少)

$x = e$ のとき $y' = 0$ (極大値)

5. 極値を求める：

$x = e$ のとき $y = \frac{\log e}{e} = \frac{1}{e}$ (極大値)

6. $x \to 0$ のとき $y \to -\infty$

7. $x = e^2$ のとき $y = \frac{\log e^2}{e^2} = \frac{2}{e^2}$

8. グラフを描く：$x=e$ で極大値 $\frac{1}{e}$ をとり、$0 < x \le e^2$ の範囲でグラフを描く。

3. 最終的な答え

それぞれの関数の増減とグラフについては上記の手順で求めることができます。具体的なグラフの形状は、増減表と極値、定義域に基づいて描画してください。