問題11.1は関数の極限を求める問題です。 (1) $\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x+3}-2}{x-1}$ (2) $\lim_{x \to 3} \frac{x^2-9}{x^3-27}$ 問題11.2も関数の極限を求める問題です。 (1) $\lim_{x \to \infty} \frac{x^2-2x+1}{x-1}$ (2) $\lim_{x \to \infty} \frac{2x^2+3}{x^2}$ 問題11.3は関数の微分を求める問題です。 (1) $y = \frac{1}{(2x+1)^4}$ (2) $y = \sqrt{x^2+1}$ 問題11.4は関数の増減を調べ、グラフをかく問題です。 $y = x^3 - 3x^2 + 2$

はい、承知いたしました。画像にある数学の問題を解きます。

1. 問題の内容

問題11.1は関数の極限を求める問題です。

(1) $\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x+3}-2}{x-1}$

(2) $\lim_{x \to 3} \frac{x^2-9}{x^3-27}$

問題11.2も関数の極限を求める問題です。

(1) $\lim_{x \to \infty} \frac{x^2-2x+1}{x-1}$

(2) $\lim_{x \to \infty} \frac{2x^2+3}{x^2}$

問題11.3は関数の微分を求める問題です。

(1) $y = \frac{1}{(2x+1)^4}$

(2) $y = \sqrt{x^2+1}$

問題11.4は関数の増減を調べ、グラフをかく問題です。

$y = x^3 - 3x^2 + 2$

2. 解き方の手順

問題11.1

(1) $\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x+3}-2}{x-1}$

分子を有理化します。

$\lim_{x \to 1} \frac{(\sqrt{x+3}-2)(\sqrt{x+3}+2)}{(x-1)(\sqrt{x+3}+2)} = \lim_{x \to 1} \frac{(x+3)-4}{(x-1)(\sqrt{x+3}+2)} = \lim_{x \to 1} \frac{x-1}{(x-1)(\sqrt{x+3}+2)}$

$\lim_{x \to 1} \frac{1}{\sqrt{x+3}+2} = \frac{1}{\sqrt{1+3}+2} = \frac{1}{2+2} = \frac{1}{4}$

(2) $\lim_{x \to 3} \frac{x^2-9}{x^3-27}$

分子は $x^2-9 = (x-3)(x+3)$と因数分解できます。

分母は $x^3-27 = (x-3)(x^2+3x+9)$と因数分解できます。

$\lim_{x \to 3} \frac{(x-3)(x+3)}{(x-3)(x^2+3x+9)} = \lim_{x \to 3} \frac{x+3}{x^2+3x+9} = \frac{3+3}{3^2+3(3)+9} = \frac{6}{9+9+9} = \frac{6}{27} = \frac{2}{9}$

問題11.2

(1) $\lim_{x \to \infty} \frac{x^2-2x+1}{x-1}$

分子は $(x-1)^2$と因数分解できます。

$\lim_{x \to \infty} \frac{(x-1)^2}{x-1} = \lim_{x \to \infty} (x-1) = \infty$

(2) $\lim_{x \to \infty} \frac{2x^2+3}{x^2}$

分子と分母を$x^2$で割ります。

$\lim_{x \to \infty} \frac{2+\frac{3}{x^2}}{1} = \frac{2+0}{1} = 2$

問題11.3

(1) $y = \frac{1}{(2x+1)^4} = (2x+1)^{-4}$

$y' = -4(2x+1)^{-5} \cdot 2 = -8(2x+1)^{-5} = \frac{-8}{(2x+1)^5}$

(2) $y = \sqrt{x^2+1} = (x^2+1)^{\frac{1}{2}}$

$y' = \frac{1}{2}(x^2+1)^{-\frac{1}{2}} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$

問題11.4

$y = x^3 - 3x^2 + 2$

$y' = 3x^2 - 6x = 3x(x-2)$

$y'=0$ となるのは $x=0$ または $x=2$ のとき。

$y'' = 6x - 6 = 6(x-1)$

$x=0$のとき、$y'' = -6 < 0$ なので極大値を取り、 $y = 0^3 - 3(0)^2 + 2 = 2$

$x=2$のとき、$y'' = 6 > 0$ なので極小値を取り、 $y = 2^3 - 3(2)^2 + 2 = 8 - 12 + 2 = -2$

増減表

x | ... | 0 | ... | 2 | ...

------- | -------- | -------- | -------- | -------- | --------

y' | + | 0 | - | 0 | +

------- | -------- | -------- | -------- | -------- | --------

y | 増加 | 2(極大) | 減少 | -2(極小) | 増加

3. 最終的な答え

問題11.1

(1) $\frac{1}{4}$

(2) $\frac{2}{9}$

問題11.2

(1) $\infty$

(2) $2$

問題11.3

(1) $y' = \frac{-8}{(2x+1)^5}$

(2) $y' = \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$

問題11.4

極大値: $(0, 2)$

極小値: $(2, -2)$

増減表は上記参照

グラフは増減表と極値をもとに描画できます。x軸との交点は、$x^3 - 3x^2 + 2 = 0$を解くことで得られます。$(x-1)(x^2-2x-2) =0$となるので、$x = 1, 1\pm\sqrt{3}$となります。