放物線 $y = x^2 - 3x$ と与えられた2直線で囲まれた部分の面積 $S$ を求める問題です。2つの小問があります。 (1) 2直線は $y = 0$ と $y = 4$ です。 (2) 2直線は $y = 2x$ と $y = -x$ です。

1. 問題の内容

放物線 $y = x^2 - 3x$ と与えられた2直線で囲まれた部分の面積 $S$ を求める問題です。2つの小問があります。

(1) 2直線は $y = 0$ と $y = 4$ です。

(2) 2直線は $y = 2x$ と $y = -x$ です。

2. 解き方の手順

(1)

まず、放物線と2直線 $y=0$ と $y=4$ の交点を求めます。

$y = 0$ との交点は、

$x^2 - 3x = 0$

$x(x - 3) = 0$

$x = 0, 3$

$y = 4$ との交点は、

$x^2 - 3x = 4$

$x^2 - 3x - 4 = 0$

$(x - 4)(x + 1) = 0$

$x = -1, 4$

$S = \int_{-1}^{0} (4 - (x^2 - 3x)) dx + \int_{3}^{4} (4 - (x^2 - 3x)) dx$

$= \int_{-1}^{0} (4 - x^2 + 3x) dx + \int_{3}^{4} (4 - x^2 + 3x) dx$

$= [4x - \frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2}]_{-1}^{0} + [4x - \frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2}]_{3}^{4}$

$= (0 - (4(-1) - \frac{(-1)^3}{3} + \frac{3(-1)^2}{2})) + ((4(4) - \frac{4^3}{3} + \frac{3(4)^2}{2}) - (4(3) - \frac{3^3}{3} + \frac{3(3)^2}{2}))$

$= -(-4 + \frac{1}{3} + \frac{3}{2}) + (16 - \frac{64}{3} + 24 - (12 - 9 + \frac{27}{2}))$

$= 4 - \frac{1}{3} - \frac{3}{2} + (40 - \frac{64}{3} - 3 - \frac{27}{2})$

$= 4 - \frac{1}{3} - \frac{3}{2} + 37 - \frac{64}{3} - \frac{27}{2}$

$= 41 - \frac{65}{3} - \frac{30}{2}$

$= 41 - \frac{65}{3} - 15$

$= 26 - \frac{65}{3}$

$= \frac{78 - 65}{3}$

$= \frac{13}{3}$

(2)

まず、放物線と2直線 $y = 2x$ と $y = -x$ の交点を求めます。

$x^2 - 3x = 2x$

$x^2 - 5x = 0$

$x(x - 5) = 0$

$x = 0, 5$

$x^2 - 3x = -x$

$x^2 - 2x = 0$

$x(x - 2) = 0$

$x = 0, 2$

よって、交点は (0, 0), (5, 10), (2, -2)

$y = 2x$ と $y = -x$ の交点は (0, 0)

2直線で囲まれた領域の上側の直線は $y=2x$ で，下側の直線は $y=-x$ である。また放物線は、x=0からx=2までは直線$y=-x$の上側にあり、x=2からx=5までは直線$y=2x$の下側にある。よって面積Sは以下のように計算できる。

$S = \int_{0}^{2} (x^2 - 3x - (-x)) dx + \int_{2}^{5} (2x - (x^2 - 3x)) dx$

$= \int_{0}^{2} (x^2 - 2x) dx + \int_{2}^{5} (5x - x^2) dx$

$= [\frac{x^3}{3} - x^2]_{0}^{2} + [\frac{5x^2}{2} - \frac{x^3}{3}]_{2}^{5}$

$= (\frac{8}{3} - 4) + (\frac{125}{2} - \frac{125}{3}) - (\frac{20}{2} - \frac{8}{3})$

$= \frac{8}{3} - 4 + \frac{125}{2} - \frac{125}{3} - 10 + \frac{8}{3}$

$= \frac{16}{3} - \frac{125}{3} - 14 + \frac{125}{2}$

$= -\frac{109}{3} - 14 + \frac{125}{2}$

$= -\frac{109}{3} - \frac{42}{3} + \frac{125}{2}$

$= -\frac{151}{3} + \frac{125}{2}$

$= \frac{-302 + 375}{6} = \frac{73}{6}$

3. 最終的な答え

(1) $S = \frac{13}{3}$

(2) $S = \frac{73}{6}$