以下の極限を求める問題です。 (1) $\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x+3} - 2}{x-1}$ (2) $\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x^3 - 27}$

## 問題の回答

### 問題 11.1 (関数の極限)

1. **問題の内容**

以下の極限を求める問題です。

(1) $\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x+3} - 2}{x-1}$

(2) $\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x^3 - 27}$

2. **解き方の手順**

(1) $\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x+3} - 2}{x-1}$

分子を有理化します。

$\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x+3} - 2}{x-1} = \lim_{x \to 1} \frac{(\sqrt{x+3} - 2)(\sqrt{x+3} + 2)}{(x-1)(\sqrt{x+3} + 2)} = \lim_{x \to 1} \frac{x+3 - 4}{(x-1)(\sqrt{x+3} + 2)} = \lim_{x \to 1} \frac{x-1}{(x-1)(\sqrt{x+3} + 2)}$

$x \neq 1$ なので、$x-1$ で約分できます。

$= \lim_{x \to 1} \frac{1}{\sqrt{x+3} + 2} = \frac{1}{\sqrt{1+3} + 2} = \frac{1}{\sqrt{4} + 2} = \frac{1}{2 + 2} = \frac{1}{4}$

(2) $\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x^3 - 27}$

分子と分母を因数分解します。

$\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x^3 - 27} = \lim_{x \to 3} \frac{(x-3)(x+3)}{(x-3)(x^2 + 3x + 9)}$

$x \neq 3$ なので、$x-3$ で約分できます。

$= \lim_{x \to 3} \frac{x+3}{x^2 + 3x + 9} = \frac{3+3}{3^2 + 3\cdot 3 + 9} = \frac{6}{9 + 9 + 9} = \frac{6}{27} = \frac{2}{9}$

3. **最終的な答え**

(1) $\frac{1}{4}$

(2) $\frac{2}{9}$

### 問題 11.2 (関数の極限)

1. **問題の内容**

以下の極限を求める問題です。

(1) $\lim_{x \to \infty} \frac{x^2 - 2x + 1}{x-1}$

(2) $\lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 + 3}{x^2}$

2. **解き方の手順**

(1) $\lim_{x \to \infty} \frac{x^2 - 2x + 1}{x-1}$

分子と分母を$x$で割ります。

$\lim_{x \to \infty} \frac{x^2 - 2x + 1}{x-1} = \lim_{x \to \infty} \frac{x - 2 + \frac{1}{x}}{1-\frac{1}{x}} = \frac{\infty - 2 + 0}{1 - 0} = \infty$

(2) $\lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 + 3}{x^2}$

分子と分母を$x^2$で割ります。

$\lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 + 3}{x^2} = \lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{3}{x^2}}{1} = \frac{2 + 0}{1} = 2$

3. **最終的な答え**

(1) $\infty$

(2) $2$

### 問題 11.3 (関数の微分)

1. **問題の内容**

以下の関数を微分する問題です。

(1) $y = \frac{1}{(2x+1)^4}$

(2) $y = \sqrt{x^2 + 1}$

2. **解き方の手順**

(1) $y = \frac{1}{(2x+1)^4} = (2x+1)^{-4}$

合成関数の微分法を使います。

$\frac{dy}{dx} = -4(2x+1)^{-5} \cdot 2 = -8(2x+1)^{-5} = -\frac{8}{(2x+1)^5}$

(2) $y = \sqrt{x^2 + 1} = (x^2 + 1)^{\frac{1}{2}}$

合成関数の微分法を使います。

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2}(x^2+1)^{-\frac{1}{2}} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$

3. **最終的な答え**

(1) $y' = -\frac{8}{(2x+1)^5}$

(2) $y' = \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$

### 問題 11.4 (関数の微分)

1. **問題の内容**

$y = x^3 - 3x^2 + 2$ の増減を調べ、グラフをかく問題です。

2. **解き方の手順**

まず、導関数を求めます。

$y' = 3x^2 - 6x = 3x(x-2)$

$y' = 0$ となる $x$ を求めます。

$3x(x-2) = 0$ より $x = 0, 2$

増減表を作成します。

| x | ... | 0 | ... | 2 | ... |

| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |

| y' | + | 0 | - | 0 | + |

| y | 増加 | 2 | 減少 | -2 | 増加 |

$x=0$ のとき $y = 0^3 - 3(0)^2 + 2 = 2$ （極大値）

$x=2$ のとき $y = 2^3 - 3(2)^2 + 2 = 8 - 12 + 2 = -2$ （極小値）

グラフは、$x$切片を求めます。

$y = x^3 - 3x^2 + 2 = (x-1)(x^2-2x-2) = (x-1)(x - (1+\sqrt{3}))(x - (1-\sqrt{3}))$

$x$ 切片は、$x = 1, 1+\sqrt{3}, 1-\sqrt{3}$です。

$y$ 切片は、$x = 0$のとき$y=2$です。

3. **最終的な答え**

増減:

* $x < 0$ で増加

* $0 < x < 2$ で減少

* $x > 2$ で増加

極値:

* $x=0$ で極大値 $2$

* $x=2$ で極小値 $-2$