与えられた関数をx軸の周りに回転させてできる回転体の体積を求める問題です。 (1) $y = \sqrt{1+x^2}$ ($0 \le x \le 1$) (2) $y = e^{-x}$, $x=0$, $x=a$ ($a>0$) とx軸によって囲まれた部分

1. 問題の内容

与えられた関数をx軸の周りに回転させてできる回転体の体積を求める問題です。

(1) $y = \sqrt{1+x^2}$ ($0 \le x \le 1$)

(2) $y = e^{-x}$, $x=0$, $x=a$ ($a>0$) とx軸によって囲まれた部分

2. 解き方の手順

回転体の体積は、回転軸（ここではx軸）に垂直な断面が円であることから、円盤の面積を積分することで求められます。体積 $V$ は以下の公式で計算できます。

$V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 dx$

(1) の場合、$f(x) = \sqrt{1+x^2}$ で、$a = 0$, $b = 1$ なので、

$V = \pi \int_{0}^{1} (\sqrt{1+x^2})^2 dx = \pi \int_{0}^{1} (1+x^2) dx$

$= \pi [x + \frac{x^3}{3}]_{0}^{1} = \pi (1 + \frac{1}{3} - 0 - 0) = \pi (\frac{4}{3}) = \frac{4}{3}\pi$

(2) の場合、$f(x) = e^{-x}$ で、$x$ の範囲は $0$ から $a$ なので、

$V = \pi \int_{0}^{a} (e^{-x})^2 dx = \pi \int_{0}^{a} e^{-2x} dx$

$u = -2x$ と置換すると、$du = -2 dx$ より $dx = -\frac{1}{2} du$ 。$x=0$のとき、$u=0$、$x=a$のとき、$u=-2a$となるので、

$V = \pi \int_{0}^{-2a} e^{u} (-\frac{1}{2}) du = -\frac{\pi}{2} \int_{0}^{-2a} e^{u} du = -\frac{\pi}{2} [e^u]_{0}^{-2a} = -\frac{\pi}{2} (e^{-2a} - e^0) = -\frac{\pi}{2}(e^{-2a}-1) = \frac{\pi}{2}(1-e^{-2a})$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{4}{3}\pi$

(2) $\frac{\pi}{2}(1-e^{-2a})$