$\lim_{x \to 1} \frac{x^2 + ax + b}{x-1} = 1$ となるように、$a$, $b$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 1} \frac{x^2 + ax + b}{x-1} = 1$ となるように、$a$, $b$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、分母が $x \to 1$ で $0$ に近づくため、極限が存在するためには分子も $x \to 1$ で $0$ に近づく必要があります。したがって、

$1 + a + b = 0$

が成り立ちます。これから $b = -a - 1$ となります。

これを $x^2 + ax + b$ に代入すると、

$x^2 + ax + b = x^2 + ax - a - 1$

$= a(x - 1) + x^2 - 1$

$= a(x - 1) + (x - 1)(x + 1)$

$= (x - 1)(a + x + 1)$

となります。

したがって、

$\lim_{x \to 1} \frac{x^2 + ax + b}{x - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)(a + x + 1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1} (a + x + 1) = a + 2$

となります。

問題文より、この極限値は $1$ なので、$a + 2 = 1$ となります。

よって、$a = -1$ となります。

$b = -a - 1$ に $a = -1$ を代入すると、$b = -(-1) - 1 = 1 - 1 = 0$ となります。

3. 最終的な答え

$a = -1$

$b = 0$