$\sin \frac{7\pi}{12}$ の値を加法定理を用いて求める。

1. 問題の内容

$\sin \frac{7\pi}{12}$ の値を加法定理を用いて求める。

2. 解き方の手順

$\frac{7\pi}{12}$ を $\frac{\pi}{3}$ と $\frac{\pi}{4}$ の和として表すことを考えます。

$\frac{7\pi}{12} = \frac{4\pi}{12} + \frac{3\pi}{12} = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4}$

$\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$ の加法定理を用いる。

$\sin\frac{7\pi}{12} = \sin(\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4}) = \sin\frac{\pi}{3}\cos\frac{\pi}{4} + \cos\frac{\pi}{3}\sin\frac{\pi}{4}$

$\sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$

$\sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

これらの値を代入する。

$\sin\frac{7\pi}{12} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

$= \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4}$

$= \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$