$\lim_{x \to -\infty} (\sqrt{x^2 + x} + x)$ の極限を求める問題です。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to -\infty} (\sqrt{x^2 + x} + x)$ の極限を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\sqrt{x^2 + x} - x$ を掛けて分子を有理化します。

$\lim_{x \to -\infty} (\sqrt{x^2 + x} + x) = \lim_{x \to -\infty} \frac{(\sqrt{x^2 + x} + x)(\sqrt{x^2 + x} - x)}{\sqrt{x^2 + x} - x} = \lim_{x \to -\infty} \frac{x^2 + x - x^2}{\sqrt{x^2 + x} - x} = \lim_{x \to -\infty} \frac{x}{\sqrt{x^2 + x} - x}$

次に、$x$ で割ります。$x \to -\infty$ なので、$x = -\sqrt{x^2}$ であることに注意します。

$\lim_{x \to -\infty} \frac{x}{\sqrt{x^2 + x} - x} = \lim_{x \to -\infty} \frac{x}{\sqrt{x^2(1 + \frac{1}{x})} - x} = \lim_{x \to -\infty} \frac{x}{|x|\sqrt{1 + \frac{1}{x}} - x}$

$x < 0$ なので、$|x| = -x$ です。

$\lim_{x \to -\infty} \frac{x}{-x\sqrt{1 + \frac{1}{x}} - x} = \lim_{x \to -\infty} \frac{x}{x(-\sqrt{1 + \frac{1}{x}} - 1)} = \lim_{x \to -\infty} \frac{1}{-\sqrt{1 + \frac{1}{x}} - 1}$

$\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{x} = 0$ なので、

$\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{-\sqrt{1 + \frac{1}{x}} - 1} = \frac{1}{-\sqrt{1 + 0} - 1} = \frac{1}{-1 - 1} = -\frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$-\frac{1}{2}$