$\sqrt{2} \sin \theta - \sqrt{2} \cos \theta$ を $r \sin(\theta - \frac{\pi}{k})$ の形に変形する問題です。ただし、$r > 0, -\pi < \frac{\pi}{k} < \pi$ を満たす必要があります。

1. 問題の内容

$\sqrt{2} \sin \theta - \sqrt{2} \cos \theta$ を $r \sin(\theta - \frac{\pi}{k})$ の形に変形する問題です。ただし、$r > 0, -\pi < \frac{\pi}{k} < \pi$ を満たす必要があります。

2. 解き方の手順

三角関数の合成公式を利用します。

一般に、$a \sin \theta + b \cos \theta = r \sin(\theta + \alpha)$ と表せます。ここで、$r = \sqrt{a^2 + b^2}$ であり、$\cos \alpha = \frac{a}{r}, \sin \alpha = \frac{b}{r}$ を満たす $\alpha$ が存在します。

今回は $a = \sqrt{2}, b = -\sqrt{2}$ なので、$r = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + (-\sqrt{2})^2} = \sqrt{2 + 2} = \sqrt{4} = 2$ となります。

したがって、

$\sqrt{2} \sin \theta - \sqrt{2} \cos \theta = 2(\frac{\sqrt{2}}{2} \sin \theta - \frac{\sqrt{2}}{2} \cos \theta)$

$= 2(\cos \frac{\pi}{4} \sin \theta - \sin \frac{\pi}{4} \cos \theta)$

$= 2\sin(\theta - \frac{\pi}{4})$

これにより、$r = 2$ であり、$\frac{\pi}{k} = \frac{\pi}{4}$ となるので、$k = 4$ となります。

また、$-\pi < \frac{\pi}{4} < \pi$ は満たされています。

3. 最終的な答え

オ：2

カ：4