(1) 関数 $y = -x^3 - 6x^2 + 7$ のグラフ上の点Pのx座標が-2であるとき、点Pにおける接線の方程式を求め、またこの関数の極小値を求める。 (2) 連立不等式 $\begin{cases} y \le -x^2 + 3x \\ y \ge 2x^2 - 6 \\ x \ge 0 \end{cases}$ の表す領域の面積を求める。

1. 問題の内容

(1) 関数 $y = -x^3 - 6x^2 + 7$ のグラフ上の点Pのx座標が-2であるとき、点Pにおける接線の方程式を求め、またこの関数の極小値を求める。

(2) 連立不等式

$\begin{cases} y \le -x^2 + 3x \\ y \ge 2x^2 - 6 \\ x \ge 0 \end{cases}$

の表す領域の面積を求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$y = -x^3 - 6x^2 + 7$ を微分して、接線の傾きを求める。

$y' = -3x^2 - 12x$

x=-2のとき、$y' = -3(-2)^2 - 12(-2) = -12 + 24 = 12$

x=-2のときのy座標は、$y = -(-2)^3 - 6(-2)^2 + 7 = -(-8) - 6(4) + 7 = 8 - 24 + 7 = -9$

よって、点Pの座標は(-2, -9)

接線の方程式は、$y - (-9) = 12(x - (-2))$

$y + 9 = 12x + 24$

$y = 12x + 15$

したがって、接線の方程式は $y = 12x + 15$

次に、極小値を求める。

$y' = -3x^2 - 12x = -3x(x+4)$

$y' = 0$ となるのは、$x = 0, -4$

増減表を書くと、

x | ... | -4 | ... | 0 | ...

-------|-----|-----|-----|-----|-----

y' | - | 0 | + | 0 | -

-------|-----|-----|-----|-----|-----

y | \searrow | 極小 | \nearrow | 極大 | \searrow

x=-4のとき、$y = -(-4)^3 - 6(-4)^2 + 7 = -(-64) - 6(16) + 7 = 64 - 96 + 7 = -25$

x=0のとき、$y = -0^3 - 6(0)^2 + 7 = 7$

したがって、極小値は -25

(2)

連立不等式

$\begin{cases} y \le -x^2 + 3x \\ y \ge 2x^2 - 6 \\ x \ge 0 \end{cases}$

の表す領域の面積を求める。

$-x^2 + 3x = 2x^2 - 6$

$3x^2 - 3x - 6 = 0$

$x^2 - x - 2 = 0$

$(x - 2)(x + 1) = 0$

$x = 2, -1$

$x \ge 0$ より、$x = 2$

$\int_0^2 (-x^2 + 3x - (2x^2 - 6)) dx = \int_0^2 (-3x^2 + 3x + 6) dx$

$= [-x^3 + \frac{3}{2}x^2 + 6x]_0^2 = -8 + \frac{3}{2}(4) + 12 = -8 + 6 + 12 = 10$

3. 最終的な答え

(1) 接線の方程式: $y = 12x + 15$, 極小値: -25

(2) 領域の面積: 10