加法定理を利用して、$\cos(x + \frac{\pi}{4}) + \cos(x - \frac{\pi}{4})$ を計算し、その結果を $A \cos x \cos \frac{\pi}{B}$ の形で表す。 次に、$\cos x = \frac{1}{2}$ のときの $\cos(x + \frac{\pi}{4}) + \cos(x - \frac{\pi}{4})$ の値を求める。

1. 問題の内容

加法定理を利用して、$\cos(x + \frac{\pi}{4}) + \cos(x - \frac{\pi}{4})$ を計算し、その結果を $A \cos x \cos \frac{\pi}{B}$ の形で表す。

次に、$\cos x = \frac{1}{2}$ のときの $\cos(x + \frac{\pi}{4}) + \cos(x - \frac{\pi}{4})$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 加法定理を用いる。

$\cos(x + \frac{\pi}{4}) = \cos x \cos \frac{\pi}{4} - \sin x \sin \frac{\pi}{4}$

$\cos(x - \frac{\pi}{4}) = \cos x \cos \frac{\pi}{4} + \sin x \sin \frac{\pi}{4}$

これらを足し合わせると、

$\cos(x + \frac{\pi}{4}) + \cos(x - \frac{\pi}{4}) = (\cos x \cos \frac{\pi}{4} - \sin x \sin \frac{\pi}{4}) + (\cos x \cos \frac{\pi}{4} + \sin x \sin \frac{\pi}{4})$

$= 2 \cos x \cos \frac{\pi}{4}$

よって、$A = 2$、 $B = 4$

(2) $\cos x = \frac{1}{2}$ のとき、

$\cos(x + \frac{\pi}{4}) + \cos(x - \frac{\pi}{4}) = 2 \cos x \cos \frac{\pi}{4} = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

よって、ウ = 2、エ = 2

3. 最終的な答え

ア = 2

イ = 4

ウ = 2

エ = 2