関数 $f(x) = x^3 + (a-2)x^2 + 3x$ が与えられている。 (1) $f(x)$ の導関数 $f'(x)$ を求める。 (2) $f(x)$ が極値をもつときの $a$ の範囲を求める。 (3) $f(x)$ が $x = -a$ で極値をもつとき、$a$ の値を求め、そのときの極大値を求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^3 + (a-2)x^2 + 3x$ が与えられている。

(1) $f(x)$ の導関数 $f'(x)$ を求める。

(2) $f(x)$ が極値をもつときの $a$ の範囲を求める。

(3) $f(x)$ が $x = -a$ で極値をもつとき、$a$ の値を求め、そのときの極大値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 導関数 $f'(x)$ を求める。

$f(x) = x^3 + (a-2)x^2 + 3x$ なので、微分すると

$f'(x) = 3x^2 + 2(a-2)x + 3$

(2) $f(x)$ が極値をもつ条件は、$f'(x) = 0$ が異なる2つの実数解を持つことである。

$f'(x) = 3x^2 + 2(a-2)x + 3 = 0$

この2次方程式の判別式 $D$ が $D > 0$ であればよい。

$D = (2(a-2))^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 4(a-2)^2 - 36 = 4(a^2 - 4a + 4) - 36 = 4a^2 - 16a + 16 - 36 = 4a^2 - 16a - 20 = 4(a^2 - 4a - 5) > 0$

$a^2 - 4a - 5 > 0$

$(a-5)(a+1) > 0$

よって、$a < -1$ または $a > 5$

(3) $f(x)$ が $x = -a$ で極値をもつとき、$f'(-a) = 0$ が成り立つ。

$f'(-a) = 3(-a)^2 + 2(a-2)(-a) + 3 = 3a^2 - 2a^2 + 4a + 3 = a^2 + 4a + 3 = 0$

$(a+1)(a+3) = 0$

$a = -1$ または $a = -3$

(2)より、$a < -1$ または $a > 5$ なので、$a=-3$のみが条件を満たす。

$a = -3$ のとき、$f(x) = x^3 + (-3-2)x^2 + 3x = x^3 - 5x^2 + 3x$

$f'(x) = 3x^2 - 10x + 3 = (3x-1)(x-3)$

$f'(x) = 0$ となるのは $x = \frac{1}{3}, 3$

極値をとるのは $x=-a=-(-3)=3$

$f'(x)$ の符号変化を調べると、

$x < \frac{1}{3}$ のとき $f'(x) > 0$

$\frac{1}{3} < x < 3$ のとき $f'(x) < 0$

$x > 3$ のとき $f'(x) > 0$

よって $x=3$ で極小値をとるので、$x = -a=3$で極値を持つ条件を満たさない。

$a=-1$のとき、$f(x)=x^3 + (-1-2)x^2 + 3x = x^3 -3x^2 +3x$

$f'(x) = 3x^2 -6x + 3 = 3(x^2 -2x + 1) = 3(x-1)^2$

これは、$x=1$で常に$0$となる。

$f(x)$は単調増加するため、$a=-1$は不適。

計算ミスの可能性があるので再度確認する。

$f'(-a) = 0$ より、$3a^2 + 2(a-2)(-a) + 3 = a^2 + 4a + 3 = 0$

$(a+1)(a+3) = 0$ より $a=-1, -3$

$a<-1, a>5$より$a=-3$

$x = -a = 3$ において極値を持つ。

$f(x) = x^3 + (a-2)x^2 + 3x = x^3 + (-3-2)x^2 + 3x = x^3 - 5x^2 + 3x$

$f'(x) = 3x^2 - 10x + 3$

$f'(x)=0$となるのは、$3x^2 - 10x + 3 = 0$ $(3x-1)(x-3) = 0$ $x = 1/3, 3$

$f''(x) = 6x - 10$

$f''(3) = 18-10 = 8 > 0$ 極小

$f''(1/3) = 6(1/3) - 10 = 2 - 10 = -8 < 0$ 極大

したがって、$x=3$では極小値を持つ。

問題文を再度確認すると、$x=-a$で極値を持つとのことなので、極大値の条件を満たさない。

問題文の誤りである可能性を考慮する。$x=-a$で極大値を持つと仮定する。

$x=-a$で極大値をもつならば、$x=-a = \frac{1}{3}$となる。したがって、$a=-\frac{1}{3}$

$f(x) = x^3 + (-\frac{1}{3} -2)x^2 + 3x = x^3 - \frac{7}{3} x^2 + 3x$

$f'(x) = 3x^2 - \frac{14}{3} x + 3$

$f'(-\frac{1}{3}) = 3(-\frac{1}{3})^2 - \frac{14}{3} (-\frac{1}{3}) + 3 = \frac{1}{3} + \frac{14}{9} + 3 = \frac{3+14+27}{9} \neq 0$

これは、$x = -a$で極値をもつという条件を満たさない。

したがって、問題文に誤りがある。

しかし、$a=-3$ならば、極大値は $x = 1/3$ のときなので、

$f(\frac{1}{3}) = (\frac{1}{3})^3 - 5(\frac{1}{3})^2 + 3(\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} - \frac{5}{9} + 1 = \frac{1 - 15 + 27}{27} = \frac{13}{27}$

3. 最終的な答え

(1) $f'(x) = 3x^2 + 2(a-2)x + 3$

(2) $a < -1$ または $a > 5$

(3) 問題文に誤りがある可能性がある。$a=-3$のとき、$x=3$で極小値をとり、極大値は$x=1/3$のとき、$13/27$となる。