画像に写っている問題の中から、以下の問題を解きます。 * 問題1(1): 複素数 $-\sqrt{3} + i$ をどのように回転させれば点になるか？ただし、回転角$\theta$の範囲は$-\pi < \theta \le \pi$とする。 * 問題2(1): 複素数 $\frac{3+2i}{1+5i}$ を極形式で表せ。ただし、偏角 $\theta$ の範囲は $0 \le \theta < 2\pi$ とする。 * 問題3: 複素数平面上の点P(3, 5)を、原点Oを中心として $\frac{\pi}{2}$ だけ回転した点をQとするとき、Qの座標を求めよ。 * 問題4(1): $(\cos{\frac{\pi}{6}} + i\sin{\frac{\pi}{6}})^7$ を計算せよ。 * 問題5(1): $(1+\sqrt{3}i)^4$ を計算せよ。

## 問題の解答

1. 問題の内容

画像に写っている問題の中から、以下の問題を解きます。

* 問題1(1): 複素数 $-\sqrt{3} + i$ をどのように回転させれば点になるか？ただし、回転角$\theta$の範囲は$-\pi < \theta \le \pi$とする。

* 問題2(1): 複素数 $\frac{3+2i}{1+5i}$ を極形式で表せ。ただし、偏角 $\theta$ の範囲は $0 \le \theta < 2\pi$ とする。

* 問題3: 複素数平面上の点P(3, 5)を、原点Oを中心として $\frac{\pi}{2}$ だけ回転した点をQとするとき、Qの座標を求めよ。

* 問題4(1): $(\cos{\frac{\pi}{6}} + i\sin{\frac{\pi}{6}})^7$ を計算せよ。

* 問題5(1): $(1+\sqrt{3}i)^4$ を計算せよ。

2. 解き方の手順

* 問題1(1): 複素数 $-\sqrt{3} + i$ を極形式で表し、回転角を求める。

$-\sqrt{3} + i = r(\cos{\theta} + i\sin{\theta})$ とおく。

$r = \sqrt{(-\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3+1} = 2$

$\cos{\theta} = \frac{-\sqrt{3}}{2}$

$\sin{\theta} = \frac{1}{2}$

したがって、$\theta = \frac{5\pi}{6}$

$-\sqrt{3} + i$を$\frac{5\pi}{6}$回転させると点になる。

* 問題2(1): 複素数 $\frac{3+2i}{1+5i}$ を計算し、その後極形式に変換する。

$\frac{3+2i}{1+5i} = \frac{(3+2i)(1-5i)}{(1+5i)(1-5i)} = \frac{3-15i+2i-10i^2}{1-25i^2} = \frac{3-13i+10}{1+25} = \frac{13-13i}{26} = \frac{1-i}{2}$

$\frac{1-i}{2} = r(\cos{\theta} + i\sin{\theta})$ とおく。

$r = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 + (-\frac{1}{2})^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{2}{4}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos{\theta} = \frac{1/2}{\sqrt{2}/2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$\sin{\theta} = \frac{-1/2}{\sqrt{2}/2} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$

したがって、$\theta = \frac{7\pi}{4}$

$\frac{3+2i}{1+5i} = \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos{\frac{7\pi}{4}} + i\sin{\frac{7\pi}{4}})$

* 問題3: 点P(3, 5)を $\frac{\pi}{2}$ 回転させる。

点Pを表す複素数は $z = 3 + 5i$.

$\frac{\pi}{2}$ 回転させる複素数は $w = \cos{\frac{\pi}{2}} + i\sin{\frac{\pi}{2}} = i$.

回転後の点を表す複素数 $z'$ は $z' = zw = (3+5i)i = 3i + 5i^2 = 3i - 5 = -5 + 3i$.

したがって、点Qの座標は (-5, 3).

* 問題4(1): ド・モアブルの定理を使用する。

$(\cos{\frac{\pi}{6}} + i\sin{\frac{\pi}{6}})^7 = \cos{\frac{7\pi}{6}} + i\sin{\frac{7\pi}{6}} = -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i$

* 問題5(1): 極形式に変換し、ド・モアブルの定理を使用する。

$1+\sqrt{3}i = r(\cos{\theta} + i\sin{\theta})$ とおく。

$r = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = 2$

$\cos{\theta} = \frac{1}{2}$

$\sin{\theta} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

したがって、$\theta = \frac{\pi}{3}$

$1+\sqrt{3}i = 2(\cos{\frac{\pi}{3}} + i\sin{\frac{\pi}{3}})$

$(1+\sqrt{3}i)^4 = [2(\cos{\frac{\pi}{3}} + i\sin{\frac{\pi}{3}})]^4 = 2^4 (\cos{\frac{4\pi}{3}} + i\sin{\frac{4\pi}{3}}) = 16(-\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i) = -8 - 8\sqrt{3}i$

3. 最終的な答え

* 問題1(1): $\frac{5\pi}{6}$回転

* 問題2(1): $\frac{\sqrt{2}}{2}(\cos{\frac{7\pi}{4}} + i\sin{\frac{7\pi}{4}})$

* 問題3: Q(-5, 3)

* 問題4(1): $-\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i$

* 問題5(1): $-8 - 8\sqrt{3}i$