円と直線が交わる図において、$PA = x$ cm, $AB = 5$ cm, $PC = 4$ cm, $CD = 2$ cmであるとき、$x$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

円と直線が交わる図において、$PA = x$ cm, $AB = 5$ cm, $PC = 4$ cm, $CD = 2$ cmであるとき、$x$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

方べきの定理を利用します。点Pから円に向かって引いた2つの直線PAとPCについて、

$PA \times PB = PC \times PD$ が成り立ちます。

まず、$PB$ を求めます。$PB = PA + AB = x + 5$ です。

次に、$PD$ を求めます。$PD = PC + CD = 4 + 2 = 6$ です。

したがって、方べきの定理より、

$PA \times PB = PC \times PD$

$x(x + 5) = 4 \times 6$

$x^2 + 5x = 24$

$x^2 + 5x - 24 = 0$

この2次方程式を解きます。因数分解すると、

$(x + 8)(x - 3) = 0$

$x = -8, 3$

$x$ は長さを表すため、正の値をとります。したがって、$x = 3$ となります。

3. 最終的な答え

x = 3