次の3つの式を因数分解します。 (1) $x^2 - yz + zx - y^2$ (2) $9b - 9 - 3ab + a^2$ (3) $2x^2 + 6xy + x - 3y - 1$

1. 問題の内容

次の3つの式を因数分解します。

(1) $x^2 - yz + zx - y^2$

(2) $9b - 9 - 3ab + a^2$

(3) $2x^2 + 6xy + x - 3y - 1$

2. 解き方の手順

(1) $x^2 - yz + zx - y^2$

まず、式を整理します。

$x^2 + zx - y^2 - yz$

$(x^2 - y^2) + (zx - yz)$

$(x+y)(x-y) + z(x-y)$

$(x-y)(x+y+z)$

(2) $9b - 9 - 3ab + a^2$

式を整理します。

$a^2 - 3ab + 9b - 9$

$a^2 - 3ab + (9b - 9)$

$a^2 - 3ab + 9(b-1)$

しかし、このままでは因数分解できません。

元の式をもう一度確認すると、$a^2$の項が一番最初にあるため、これを意識して並べ替えてみます。

$a^2 -3ab +9b - 9 = a^2 -3ab + 9b - 9$

この式は、2次式として考えるとうまくいきません。

しかし、$9b-3ab = -3b(a-3)$ となることを利用します。

$9b - 9 - 3ab + a^2 = -9 + 9b + a^2 -3ab = -9 + (9b -3ab) + a^2 = -9 + 3b(3-a) +a^2$

式を整理すると $a^2 -3ab +9b -9$　

この式はうまくいきません。

しかし、$9b$と$a^2$を入れ替えて、$a^2 -9-3ab + 9b= (a+3)(a-3)-3b(a-3)= (a-3)(a+3-3b)$

$(a-3)(a-3b+3)$

(3) $2x^2 + 6xy + x - 3y - 1$

式をxについて整理します。

$2x^2 + (6y+1)x - (3y+1)$

因数分解できると仮定すると、$(ax+b)(cx+d)$の形になります。

$2x^2 + (6y+1)x - (3y+1) = (2x+p)(x+q)$ のような形になるはずです。

$(2x + ay + b)(x + cy + d)$

$2x^2 + 2cxy + 2dx + axy + acy^2 + ady + bx + bcy + bd$

$2x^2 + (2c+a)xy + acy^2 + (2d+b)x + (ad+bc)y + bd$

$2c+a = 6$

$ac = 0$

$2d+b=1$

$ad+bc=-3$

$bd = -1$

$ac=0$ より、$a=0$ または $c=0$

もし$a=0$ なら、$2c = 6$ より $c=3$

$2d+b=1$

$3b = -3$ より $b=-1$

$2d-1=1$ より $d=1$

$bd = -1$

$(2x-1)(x+3y+1)$

$2x^2 + 6xy + 2x - x - 3y - 1$

$2x^2 + 6xy + x - 3y - 1$

3. 最終的な答え

(1) $(x-y)(x+y+z)$

(2) $(a-3)(a-3b+3)$

(3) $(2x-1)(x+3y+1)$