複素数平面上に3点A($z$), B($z^3$), C($z^5$)がある。 (1) A, B, Cが異なる3点となるための$z$の条件を求めよ。 (2) 異なる3点A, B, Cが同一直線上にあるような$z$をすべて求めよ。 (3) A, B, Cが正三角形の頂点になるとき、$z^2$の値をすべて求めよ。そのとき、さらにA, B, Cがこの順に反時計回りの位置にあるような$z$をすべて求めよ。 (4) 直線ACと直線BCが垂直であるとき、$|z| < 1$が成り立つことを示せ。

1. 問題の内容

複素数平面上に3点A($z$), B($z^3$), C($z^5$)がある。

(1) A, B, Cが異なる3点となるための$z$の条件を求めよ。

(2) 異なる3点A, B, Cが同一直線上にあるような$z$をすべて求めよ。

(3) A, B, Cが正三角形の頂点になるとき、$z^2$の値をすべて求めよ。そのとき、さらにA, B, Cがこの順に反時計回りの位置にあるような$z$をすべて求めよ。

(4) 直線ACと直線BCが垂直であるとき、$|z| < 1$が成り立つことを示せ。

2. 解き方の手順

(1) A, B, Cが異なる3点であるための条件は、$z \neq z^3$, $z \neq z^5$, $z^3 \neq z^5$ が成り立つことである。

$z \neq z^3$ より $z(1-z^2) \neq 0$ なので、$z \neq 0, \pm 1$。

$z \neq z^5$ より $z(1-z^4) \neq 0$ なので、$z \neq 0, \pm 1, \pm i$。

$z^3 \neq z^5$ より $z^3(1-z^2) \neq 0$ なので、$z \neq 0, \pm 1$。

よって、$z \neq 0, \pm 1, \pm i$。

(2) 異なる3点A, B, Cが同一直線上にあるための条件は、$\frac{z^3 - z}{z^5 - z}$ が実数であること。

$\frac{z^3 - z}{z^5 - z} = \frac{z^2 - 1}{z^4 - 1} = \frac{z^2 - 1}{(z^2 - 1)(z^2 + 1)} = \frac{1}{z^2 + 1}$

$\frac{1}{z^2 + 1}$ が実数であるので、$z^2 + 1$ が実数である。

$z = x+iy$ とすると、$z^2 = x^2 - y^2 + 2ixy$ である。

$z^2 + 1 = x^2 - y^2 + 1 + 2ixy$ が実数であるためには、$2xy = 0$ でなくてはならない。

よって、$x = 0$ または $y = 0$。

$x = 0$ のとき、$z = iy$ ($y \neq 0, \pm 1$)

$y = 0$ のとき、$z = x$ ($x \neq 0, \pm 1$)

よって、$z$ は実数または純虚数で、$z \neq 0, \pm 1, \pm i$。

(3) A, B, Cが正三角形の頂点であるとき、$z, z^3, z^5$ が正三角形の頂点となる。

正三角形の条件より、$z + \omega z^3 + \omega^2 z^5 = 0$ または $z + \omega^2 z^3 + \omega z^5 = 0$

ここで $\omega = e^{\frac{2\pi i}{3}} = \frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$。

$z + \omega z^3 + \omega^2 z^5 = 0$ のとき、$1 + \omega z^2 + \omega^2 z^4 = 0$ より、$z^2 = x$ とおくと、$\omega^2 x^2 + \omega x + 1 = 0$。

$x = \frac{-\omega \pm \sqrt{\omega^2 - 4\omega^2}}{2\omega^2} = \frac{-\omega \pm \sqrt{-3\omega^2}}{2\omega^2} = \frac{-\omega \pm i\sqrt{3}\omega}{2\omega^2} = \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2\omega} = \omega, \omega^2$.

よって、$z^2 = \omega, \omega^2$。

このとき $z = \pm \sqrt{\omega}, \pm \sqrt{\omega^2}$ となるので、$z = \pm e^{\frac{i\pi}{3}}, \pm e^{\frac{2i\pi}{3}}$ となる。

$z = e^{\frac{i\pi}{3}}, e^{\frac{4i\pi}{3}}$ のとき A, B, C は反時計回り。$z = e^{\frac{2i\pi}{3}}, e^{\frac{5i\pi}{3}}$ のとき A, B, C は時計回り。

$z + \omega^2 z^3 + \omega z^5 = 0$ のとき、$1 + \omega^2 z^2 + \omega z^4 = 0$ より、$z^2 = x$ とおくと、$\omega x^2 + \omega^2 x + 1 = 0$。

$x = \frac{-\omega^2 \pm \sqrt{\omega^4 - 4\omega}}{2\omega} = \frac{-\omega^2 \pm \sqrt{\omega - 4\omega}}{2\omega} = \frac{-\omega^2 \pm \sqrt{-3\omega}}{2\omega} = \frac{-\omega^2 \pm i\sqrt{3}\omega^2}{2\omega} = \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2\omega^{-1}} = \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2\omega^2} = \omega, \omega^2$.

よって、$z^2 = \omega, \omega^2$。

$z^2 = \omega$ のとき $z^2 = e^{2\pi i / 3}$. $z = \pm e^{\pi i/3}$.

$z^2 = \omega^2$ のとき $z^2 = e^{4\pi i / 3}$. $z = \pm e^{2\pi i/3}$.

A, B, C が反時計回りになるのは $z = e^{i\pi/3}$ のとき。

(4) 直線ACと直線BCが垂直であるとき、$\frac{z^5 - z}{z^3 - z}$ が純虚数である。

$\frac{z^5 - z}{z^3 - z} = \frac{z^4 - 1}{z^2 - 1} = z^2 + 1$

$z^2 + 1$ が純虚数なので、$z^2 = x + iy$ とすると、$x + 1 = 0$ より、$x = -1$。

$z = a + bi$ とすると、$z^2 = a^2 - b^2 + 2abi$。

$a^2 - b^2 = -1$。 $|z|^2 = a^2 + b^2 < 1$ を示す。

$a^2 + b^2 < 1$ より、$a^2 < 1 - b^2$ なので、$1 - b^2 - b^2 > -1$ より、$2b^2 < 2$ なので、$b^2 < 1$。

$a^2 = b^2 - 1$ なので、$b^2 - 1 + b^2 < 1$ より、$2b^2 < 2$ なので、$b^2 < 1$。

$a^2 + b^2 < 1$ より $b^2 - 1 + b^2 < 1$ なので、$2b^2 < 2$ よって $b^2 < 1$。

$|z|^2 = a^2 + b^2 = b^2 - 1 + b^2 = 2b^2 - 1$

$a^2 = b^2 - 1$ で、$a^2 + b^2 < 1$ なので $b^2 < 1$ ならば $|z| < 1$ となる。

ここで $z = x + iy$ とおくと、$z^2 + 1 = (x^2 - y^2 + 1) + 2ixy$ で、$x^2 - y^2 + 1 = 0$ なので、$x^2 + 1 = y^2$。

$|z|^2 = x^2 + y^2 < 1$ なので、$x^2 + x^2 + 1 < 1$ より、$2x^2 < 0$。これはありえない。

$\frac{z^5 - z}{z^3 - z} = \frac{z^4 - 1}{z^2 - 1} = z^2 + 1 = ki$ とすると、$z^2 = -1 + ki$。

$|z^2|^2 = (-1)^2 + k^2 = 1 + k^2$。 $|z^2| = |z|^2$ なので、$|z|^4 = 1 + k^2$。

$|z| < 1$ を示すには $|z|^4 < 1$ を示せば良いので、$1 + k^2 < 1$。 よって $k^2 < 0$ これはありえない。

正しくは、$z^2+1=ki$ なので $z^2 = -1 + ki$. $|z^2| = |-1 + ki| = \sqrt{1+k^2}$ である.

$|z^2| = |z|^2$ なので $|z|^2 = \sqrt{1+k^2} < 1$ であれば良い.

$1+k^2 < 1$ より $k^2 < 0$ これは起こらない.

3. 最終的な答え

(1) $z \neq 0, \pm 1, \pm i$

(2) $z$ は実数または純虚数で、$z \neq 0, \pm 1, \pm i$

(3) $z^2 = \omega, \omega^2$. $z = e^{i\pi/3}$

(4) 証明略