複素数 $\alpha$ に対して、$|\alpha| = 1$ のとき、$\alpha^3 + \frac{1}{\alpha^3}$ が実数であることを証明する問題です。

1. 問題の内容

複素数 $\alpha$ に対して、$|\alpha| = 1$ のとき、$\alpha^3 + \frac{1}{\alpha^3}$ が実数であることを証明する問題です。

2. 解き方の手順

$\alpha$ が複素数で、$|\alpha| = 1$であるとき、$\alpha \overline{\alpha} = |\alpha|^2 = 1$ が成り立ちます。したがって、$\overline{\alpha} = \frac{1}{\alpha}$です。

$\alpha^3 + \frac{1}{\alpha^3}$ が実数であることを示すためには、$\alpha^3 + \frac{1}{\alpha^3}$ の共役複素数が $\alpha^3 + \frac{1}{\alpha^3}$ と等しいことを示せば良いです。

$\alpha^3 + \frac{1}{\alpha^3}$ の共役複素数を考えると、

$\overline{\alpha^3 + \frac{1}{\alpha^3}} = \overline{\alpha^3} + \overline{\frac{1}{\alpha^3}}$

$= \overline{\alpha}^3 + \frac{1}{\overline{\alpha}^3}$

$\overline{\alpha} = \frac{1}{\alpha}$ であるから、

$\overline{\alpha}^3 + \frac{1}{\overline{\alpha}^3} = (\frac{1}{\alpha})^3 + \frac{1}{(\frac{1}{\alpha})^3}$

$= \frac{1}{\alpha^3} + \frac{1}{\frac{1}{\alpha^3}}$

$= \frac{1}{\alpha^3} + \alpha^3$

$= \alpha^3 + \frac{1}{\alpha^3}$

したがって、$\overline{\alpha^3 + \frac{1}{\alpha^3}} = \alpha^3 + \frac{1}{\alpha^3}$ であるから、$\alpha^3 + \frac{1}{\alpha^3}$ は実数です。

3. 最終的な答え

$\alpha^3 + \frac{1}{\alpha^3}$ は実数である。