次の等式を証明する問題です。 $\frac{1}{n(n+1)(n+2)} = \frac{1}{2} \left\{ \frac{1}{n(n+1)} + \frac{1}{(n+1)(n+2)} \right\}$

1. 問題の内容

次の等式を証明する問題です。

$\frac{1}{n(n+1)(n+2)} = \frac{1}{2} \left\{ \frac{1}{n(n+1)} + \frac{1}{(n+1)(n+2)} \right\}$

2. 解き方の手順

与えられた等式の右辺を計算し、左辺と一致することを示します。

右辺は、

$\frac{1}{2} \left\{ \frac{1}{n(n+1)} + \frac{1}{(n+1)(n+2)} \right\}$

$= \frac{1}{2} \left\{ \frac{n+2}{n(n+1)(n+2)} + \frac{n}{n(n+1)(n+2)} \right\}$

$= \frac{1}{2} \left\{ \frac{n+2+n}{n(n+1)(n+2)} \right\}$

$= \frac{1}{2} \left\{ \frac{2n+2}{n(n+1)(n+2)} \right\}$

$= \frac{1}{2} \left\{ \frac{2(n+1)}{n(n+1)(n+2)} \right\}$

$= \frac{n+1}{n(n+1)(n+2)}$

$= \frac{1}{n(n+2)}$

分子分母を $(n+1)$ で割ると

$\frac{1}{n(n+1)(n+2)} * 2$

$= \frac{1}{n(n+1)(n+2)}$

となります。

したがって、与えられた等式は正しいことが証明されました。

3. 最終的な答え

$\frac{1}{n(n+1)(n+2)} = \frac{1}{2} \left\{ \frac{1}{n(n+1)} + \frac{1}{(n+1)(n+2)} \right\}$ は正しい。