$x = \frac{\sqrt{6}-2}{\sqrt{6}+2}$、 $y = \frac{\sqrt{6}+2}{\sqrt{6}-2}$のとき、$x^2 - 7xy + y^2$の値を求める。

1. 問題の内容

$x = \frac{\sqrt{6}-2}{\sqrt{6}+2}$、 $y = \frac{\sqrt{6}+2}{\sqrt{6}-2}$のとき、$x^2 - 7xy + y^2$の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$xy$の値を計算する。

$xy = \frac{\sqrt{6}-2}{\sqrt{6}+2} \cdot \frac{\sqrt{6}+2}{\sqrt{6}-2} = 1$

次に、$x+y$の値を計算する。

$x+y = \frac{\sqrt{6}-2}{\sqrt{6}+2} + \frac{\sqrt{6}+2}{\sqrt{6}-2} = \frac{(\sqrt{6}-2)^2 + (\sqrt{6}+2)^2}{(\sqrt{6}+2)(\sqrt{6}-2)} = \frac{(6-4\sqrt{6}+4) + (6+4\sqrt{6}+4)}{6-4} = \frac{20}{2} = 10$

$x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy$なので、

$x^2 + y^2 = (10)^2 - 2(1) = 100 - 2 = 98$

したがって、

$x^2 - 7xy + y^2 = x^2 + y^2 - 7xy = 98 - 7(1) = 98 - 7 = 91$

3. 最終的な答え

$x^2 - 7xy + y^2 = 91$