関数 $y = 2x^2$ について、与えられた $x$ の変域に対する $y$ の変域を求める。 (1) $1 \le x \le 4$ (2) $-2 \le x \le 3$

1. 問題の内容

関数 $y = 2x^2$ について、与えられた $x$ の変域に対する $y$ の変域を求める。

(1) $1 \le x \le 4$

(2) $-2 \le x \le 3$

2. 解き方の手順

関数 $y = 2x^2$ は上に開いた放物線である。

(1) $x$ の変域が $1 \le x \le 4$ の場合:

$x=1$ のとき $y = 2(1)^2 = 2$

$x=4$ のとき $y = 2(4)^2 = 2(16) = 32$

$1 \le x \le 4$ の範囲では $y$ は増加するので、$y$ の変域は $2 \le y \le 32$ となる。

(2) $x$ の変域が $-2 \le x \le 3$ の場合:

この範囲には $x=0$ が含まれているので、$y$ の最小値は $0$ である。

$x=-2$ のとき $y = 2(-2)^2 = 2(4) = 8$

$x=3$ のとき $y = 2(3)^2 = 2(9) = 18$

$-2 \le x \le 3$ の範囲では、$y$ の最大値は $18$ となる。

よって、$y$ の変域は $0 \le y \le 18$ となる。

3. 最終的な答え

(1) $2 \le y \le 32$

(2) $0 \le y \le 18$