与えられた式 $a^2 + (2b+5)a - (b-4)(3b+1)$ を因数分解してください。

1. 問題の内容

与えられた式 $a^2 + (2b+5)a - (b-4)(3b+1)$ を因数分解してください。

2. 解き方の手順

まず、定数項を展開します。

$-(b-4)(3b+1) = -(3b^2 + b - 12b - 4) = -(3b^2 - 11b - 4) = -3b^2 + 11b + 4$

次に、与式を書き換えます。

$a^2 + (2b+5)a - 3b^2 + 11b + 4$

因数分解するために、定数項 $-3b^2 + 11b + 4$ を2つの項の積に分解し、それらの和が $2b+5$ になるようにします。

$-3b^2 + 11b + 4 = (-b+4)(3b+1)$ なので、与式は以下のように変形できます。

$a^2 + (2b+5)a + (-b+4)(3b+1)(-1)$

ここで、$(-b+4)$ と $(3b+1)$ の符号を変えて、それらの和が $2b+5$ になるように考えます。

$(-b+4) + (3b+1) = 2b + 5$ なので、

$a^2 + (2b+5)a + (-1)(b-4)(3b+1) = (a + (3b+1))(a + (-b+4))$

$(a+3b+1)(a-b+4)$

3. 最終的な答え

$(a+3b+1)(a-b+4)$