2次関数 $y = -x^2 + 4x + 1$ の $-3 \le x \le 3$ における最大値と最小値を求めよ。

1. 問題の内容

2次関数 $y = -x^2 + 4x + 1$ の $-3 \le x \le 3$ における最大値と最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = -x^2 + 4x + 1 = -(x^2 - 4x) + 1 = -(x^2 - 4x + 4 - 4) + 1 = -(x - 2)^2 + 4 + 1 = -(x - 2)^2 + 5$

したがって、この2次関数の頂点は $(2, 5)$ であり、上に凸の放物線であることがわかります。

次に、定義域 $-3 \le x \le 3$ における $y$ の値を考えます。

頂点の $x$ 座標である $x = 2$ は定義域に含まれています。

$x = 2$ のとき、$y = 5$ (最大値)

次に、定義域の端点における $y$ の値を計算します。

$x = -3$ のとき、$y = -(-3)^2 + 4(-3) + 1 = -9 - 12 + 1 = -20$

$x = 3$ のとき、$y = -(3)^2 + 4(3) + 1 = -9 + 12 + 1 = 4$

したがって、定義域 $-3 \le x \le 3$ における最大値は $x = 2$ のときの $y = 5$ であり、最小値は $x = -3$ のときの $y = -20$ です。

3. 最終的な答え

最大値: 5 ($x = 2$ のとき)

最小値: -20 ($x = -3$ のとき)