関数 $y = -x^2 - 4x - 3$ の $-1 \le x \le 1$ における最大値と最小値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = -x^2 - 4x - 3$ の $-1 \le x \le 1$ における最大値と最小値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = -x^2 - 4x - 3 = -(x^2 + 4x) - 3 = -(x^2 + 4x + 4 - 4) - 3 = -(x + 2)^2 + 4 - 3 = -(x + 2)^2 + 1$

したがって、$y = -(x+2)^2 + 1$ となります。

この2次関数のグラフは、上に凸の放物線で、頂点は $(-2, 1)$ です。

次に、定義域 $-1 \le x \le 1$ における関数の値を調べます。

$x=-1$ のとき $y = -(-1+2)^2 + 1 = -1 + 1 = 0$

$x=1$ のとき $y = -(1+2)^2 + 1 = -9 + 1 = -8$

また、頂点のx座標は$x = -2$ であり、これは定義域外です。

$x = -1$ のとき $y = 0$ であり、$x = 1$ のとき $y = -8$ であることから、この区間での最大値は $0$ で、最小値は $-8$ となります。

3. 最終的な答え

最大値：0 （x = -1 のとき）

最小値：-8 （x = 1 のとき）