2次関数 $y = 2x^2 - 4x + 3$ の $0 < x < 3$ における最大値と最小値を求める問題です。もし最大値または最小値が存在しない場合は、「なし」と解答します。

1. 問題の内容

2次関数 $y = 2x^2 - 4x + 3$ の $0 < x < 3$ における最大値と最小値を求める問題です。もし最大値または最小値が存在しない場合は、「なし」と解答します。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = 2x^2 - 4x + 3 = 2(x^2 - 2x) + 3 = 2(x^2 - 2x + 1 - 1) + 3 = 2((x-1)^2 - 1) + 3 = 2(x-1)^2 - 2 + 3 = 2(x-1)^2 + 1$

したがって、$y = 2(x-1)^2 + 1$ となります。このグラフは、頂点が $(1, 1)$ で下に凸の放物線です。

定義域は $0 < x < 3$ です。頂点の $x$ 座標は $x = 1$ であり、これは定義域に含まれています。したがって、最小値は $x = 1$ のときに $y = 1$ となります。

次に、最大値を求めます。$x = 0$ と $x = 3$ のときの $y$ の値を計算します。

$x = 0$ のとき、 $y = 2(0-1)^2 + 1 = 2(1) + 1 = 3$

$x = 3$ のとき、 $y = 2(3-1)^2 + 1 = 2(2^2) + 1 = 2(4) + 1 = 9$

$x$が定義域の端点である$0$と$3$に近づくほど、$y$の値は大きくなります。しかし、$0 < x < 3$であるため、$x=0$および$x=3$の値は取りません。そのため、最大値は存在しません。

3. 最終的な答え

最大値: なし ($x$ = なし のとき)

最小値: 1 ($x$ = 1 のとき)