7個の数字 $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6$ から異なる5個を選んで5桁の整数を作るとき、作れる5桁の整数の個数と、そのうち奇数であるものの個数を求める問題です。

1. 問題の内容

7個の数字 $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6$ から異なる5個を選んで5桁の整数を作るとき、作れる5桁の整数の個数と、そのうち奇数であるものの個数を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、5桁の整数全体の個数を計算します。

* 1桁目（一番左）は0以外の数字なので、6通りの選び方があります。

* 2桁目以降は残りの6個の数字から選ぶので、順に6通り、5通り、4通り、3通りの選び方があります。

したがって、5桁の整数全体の個数は、

$6 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 = 2160$ 個です。

次に、5桁の奇数の個数を計算します。

5桁の数が奇数であるためには、1の位が奇数である必要があります。

与えられた数字のうち奇数は1, 3, 5の3つです。

場合分けをして考えます。

(i) 1の位が奇数で、かつ、万の位が0でない場合

1の位は1, 3, 5のいずれかなので3通り。

万の位は0と、1の位で使用した奇数以外の5通り。

千の位は残りの5通り。

百の位は残りの4通り。

十の位は残りの3通り。

よって、

$3 \times 5 \times 5 \times 4 \times 3 = 900$ 通り。

(ii) 1の位が奇数で、かつ、万の位が0である場合

この場合は万の位に0がきていないので、(i)の場合に含まれています。

したがって、5桁の奇数は900個です。

3. 最終的な答え

5桁の整数は2160個できる。

奇数は900個できる。