$\tan \theta = -1$ のとき、$\sin \theta$ と $\cos \theta$ の値を求めよ。ただし、$90^\circ < \theta \le 180^\circ$ とする。答えは有理化すること。

1. 問題の内容

$\tan \theta = -1$ のとき、$\sin \theta$ と $\cos \theta$ の値を求めよ。ただし、$90^\circ < \theta \le 180^\circ$ とする。答えは有理化すること。

2. 解き方の手順

$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = -1$ より、$\sin \theta = - \cos \theta$。

また、$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ が成り立つ。

$\sin \theta = - \cos \theta$ を $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ に代入すると、

$(- \cos \theta)^2 + \cos^2 \theta = 1$

$\cos^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$

$2 \cos^2 \theta = 1$

$\cos^2 \theta = \frac{1}{2}$

$\cos \theta = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

条件 $90^\circ < \theta \le 180^\circ$ より、$\cos \theta < 0$ なので、$\cos \theta = - \frac{\sqrt{2}}{2}$。

$\sin \theta = - \cos \theta = - \left( - \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$。

3. 最終的な答え

$\sin \theta = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos \theta = - \frac{\sqrt{2}}{2}$