$A^2 - B^2$ を $A^3 - B^3$ で割った値が $\frac{3}{119}$ であり、$A + B = 51$ かつ $A \ge B$ であるとき、$A$ と $B$ の値をそれぞれ求める問題です。

1. 問題の内容

$A^2 - B^2$ を $A^3 - B^3$ で割った値が $\frac{3}{119}$ であり、$A + B = 51$ かつ $A \ge B$ であるとき、$A$ と $B$ の値をそれぞれ求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$A^2 - B^2$ と $A^3 - B^3$ を因数分解します。

$A^2 - B^2 = (A+B)(A-B)$

$A^3 - B^3 = (A-B)(A^2 + AB + B^2)$

与えられた式 $\frac{A^2 - B^2}{A^3 - B^3} = \frac{3}{119}$ に、これらの因数分解した式を代入すると、

$\frac{(A+B)(A-B)}{(A-B)(A^2 + AB + B^2)} = \frac{3}{119}$

$A \neq B$ と仮定すれば、$A-B$ で約分できるので、

$\frac{A+B}{A^2 + AB + B^2} = \frac{3}{119}$

$A + B = 51$ であることを利用すると、

$\frac{51}{A^2 + AB + B^2} = \frac{3}{119}$

$A^2 + AB + B^2 = \frac{51 \times 119}{3} = 17 \times 119 = 2023$

ここで、$A+B=51$ なので、$B=51-A$ となります。これを $A^2 + AB + B^2 = 2023$ に代入します。

$A^2 + A(51-A) + (51-A)^2 = 2023$

$A^2 + 51A - A^2 + 51^2 - 102A + A^2 = 2023$

$A^2 - 51A + 2601 = 2023$

$A^2 - 51A + 578 = 0$

この二次方程式を解の公式で解きます。

$A = \frac{-(-51) \pm \sqrt{(-51)^2 - 4(1)(578)}}{2(1)}$

$A = \frac{51 \pm \sqrt{2601 - 2312}}{2}$

$A = \frac{51 \pm \sqrt{289}}{2}$

$A = \frac{51 \pm 17}{2}$

$A = \frac{51 + 17}{2} = \frac{68}{2} = 34$ または $A = \frac{51 - 17}{2} = \frac{34}{2} = 17$

$A = 34$ のとき、$B = 51 - 34 = 17$

$A = 17$ のとき、$B = 51 - 17 = 34$

$A \ge B$ という条件から、$A = 34, B = 17$

3. 最終的な答え

$A = 34, B = 17$