3次方程式 $x^3 - 3x^2 - 9x - m = 0$ (ここで、$m$は実数の定数)について、以下の問いに答えます。 (1) 異なる3つの実数解を持つとき、$m$の値の範囲を求めます。 (2) 1つの負の解と異なる2つの正の解を持つとき、$m$の値の範囲を求めます。

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 - 3x^2 - 9x - m = 0$ (ここで、$m$は実数の定数)について、以下の問いに答えます。

(1) 異なる3つの実数解を持つとき、$m$の値の範囲を求めます。

(2) 1つの負の解と異なる2つの正の解を持つとき、$m$の値の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

与えられた3次方程式を $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x - m = 0$ とします。

この方程式が異なる3つの実数解を持つためには、$f'(x)=0$が異なる2つの実数解を持ち、かつ極大値と極小値の積が負である必要があります。

まず、$f'(x)$ を計算します。

$f'(x) = 3x^2 - 6x - 9 = 3(x^2 - 2x - 3) = 3(x-3)(x+1)$

$f'(x) = 0$ となるのは、$x = 3$ と $x = -1$ のときです。

$x = -1$ のとき、$f(-1) = (-1)^3 - 3(-1)^2 - 9(-1) - m = -1 - 3 + 9 - m = 5 - m$ (極大値)

$x = 3$ のとき、$f(3) = (3)^3 - 3(3)^2 - 9(3) - m = 27 - 27 - 27 - m = -27 - m$ (極小値)

異なる3つの実数解を持つための条件は、$f(-1) \cdot f(3) < 0$ です。

$(5-m)(-27-m) < 0$

$(m-5)(m+27) < 0$

したがって、$-27 < m < 5$

(2)

$f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x - m$ が1つの負の解と異なる2つの正の解を持つ条件を考えます。

$f(0) = -m$ であるので、

$f(0)$ は、極大値$f(-1)$と極小値$f(3)$の間になくてはならない。

また、極大値$f(-1)$と極小値$f(3)$は$f(0)$を挟んで符号が異なってなくてはならない。

すなわち、$f(0)=0$となると、$x=0$が解になるので、$0$は正の解でも負の解でもないので条件を満たさない。

したがって、

$f(-1) > 0$ かつ $f(3) < 0$ かつ $f(0) < 0$です。

あるいは、$f(-1) < 0$ かつ $f(3) > 0$ かつ $f(0) > 0$です。

これらの条件をそれぞれ検討していきます。

$f(0)=-m$であることから、$f(0) < 0$の場合、$m > 0$、$f(0) > 0$の場合、$m < 0$です。

$f(-1) = 5 - m$と$f(3) = -27 - m$を考慮すると、

$m > 0$のとき、$f(-1) > 0$ つまり $m < 5$かつ $f(3) < 0$ つまり $-27 - m < 0$で$m > -27$なので、$0 < m < 5$

$m < 0$のとき、$f(-1) < 0$ つまり $m > 5$かつ $f(3) > 0$ つまり $-27 - m > 0$で$m < -27$なので、条件を満たす$m$は存在しない。

$f(x)=0$は、$x=0$で解を持たないので、$f(0)\ne 0$です。

また、$f(3) < f(0) < f(-1)$となる必要があるので、

$-27-m < -m < 5-m$となり、$m > 0$かつ$5-m>0$で$-27-m < 0$になる必要があるので、$0 < m < 5$。

3. 最終的な答え

(1) $-27 < m < 5$

(2) $0 < m < 5$