座標平面上の点P(3, 5)を、原点Oを中心として$\frac{\pi}{4}$だけ回転した点Qの座標を求めよ。

1. 問題の内容

座標平面上の点P(3, 5)を、原点Oを中心として$\frac{\pi}{4}$だけ回転した点Qの座標を求めよ。

2. 解き方の手順

点P(x, y)を原点中心に$\theta$だけ回転させた点の座標(x', y')は、以下の式で求められます。

$x' = x\cos\theta - y\sin\theta$

$y' = x\sin\theta + y\cos\theta$

今回の問題では、点P(3, 5)を原点中心に$\frac{\pi}{4}$だけ回転させた点Qの座標を求めるので、

$x = 3$, $y = 5$, $\theta = \frac{\pi}{4}$を上記の式に代入します。

$\cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

よって、

$x' = 3 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - 5 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{3\sqrt{2} - 5\sqrt{2}}{2} = \frac{-2\sqrt{2}}{2} = -\sqrt{2}$

$y' = 3 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + 5 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{3\sqrt{2} + 5\sqrt{2}}{2} = \frac{8\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}$

したがって、点Qの座標は$(-\sqrt{2}, 4\sqrt{2})$となります。

3. 最終的な答え

Qの座標は $(-\sqrt{2}, 4\sqrt{2})$