複素数 $1$ の8乗根を求める問題です。

1. 問題の内容

複素数 $1$ の8乗根を求める問題です。

2. 解き方の手順

複素数 $z$ が $1$ の8乗根であるとは、$z^8 = 1$ を満たすことを意味します。

$1$ を極形式で表すと、$1 = \cos 0 + i \sin 0$ となります。

一般に、$1 = \cos (2k\pi) + i \sin (2k\pi)$ ($k$ は整数) と表せます。

したがって、$z^8 = \cos (2k\pi) + i \sin (2k\pi)$ となります。

ド・モアブルの定理より、$z = \cos (\frac{2k\pi}{8}) + i \sin (\frac{2k\pi}{8}) = \cos (\frac{k\pi}{4}) + i \sin (\frac{k\pi}{4})$ となります。

$k = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$ を代入すると、異なる8つの解が得られます。

$k=0$ のとき、$z = \cos 0 + i \sin 0 = 1$

$k=1$ のとき、$z = \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2}$

$k=2$ のとき、$z = \cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2} = i$

$k=3$ のとき、$z = \cos \frac{3\pi}{4} + i \sin \frac{3\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2}$

$k=4$ のとき、$z = \cos \pi + i \sin \pi = -1$

$k=5$ のとき、$z = \cos \frac{5\pi}{4} + i \sin \frac{5\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} - i \frac{\sqrt{2}}{2}$

$k=6$ のとき、$z = \cos \frac{3\pi}{2} + i \sin \frac{3\pi}{2} = -i$

$k=7$ のとき、$z = \cos \frac{7\pi}{4} + i \sin \frac{7\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} - i \frac{\sqrt{2}}{2}$

3. 最終的な答え

$1$ の8乗根は次の8つです。

$1, \frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2}, i, -\frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2}, -1, -\frac{\sqrt{2}}{2} - i \frac{\sqrt{2}}{2}, -i, \frac{\sqrt{2}}{2} - i \frac{\sqrt{2}}{2}$