実数 $x$, $y$ に関する条件について、それぞれが「必要条件」、「十分条件」、「必要十分条件」のどれに該当するかを判断する問題です。 (1) $x=4, y=2$ は $xy=8$ であるための何条件か。 (2) $x^2 - 6x + 9 = 0$ は $x=3$ であるための何条件か。 (3) $\triangle ABC$ が二等辺三角形であることは、$\triangle ABC$ が正三角形であるための何条件か。

1. 問題の内容

実数 $x$, $y$ に関する条件について、それぞれが「必要条件」、「十分条件」、「必要十分条件」のどれに該当するかを判断する問題です。

(1) $x=4, y=2$ は $xy=8$ であるための何条件か。

(2) $x^2 - 6x + 9 = 0$ は $x=3$ であるための何条件か。

(3) $\triangle ABC$ が二等辺三角形であることは、$\triangle ABC$ が正三角形であるための何条件か。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$x=4, y=2$ のとき、$xy = 4 \times 2 = 8$ となり、$xy=8$ は成立します。

次に、$xy=8$ を満たす $x, y$ の組を考えます。例えば、$x=1, y=8$ なども $xy=8$ を満たしますが、$x=4, y=2$ とは限りません。

したがって、$x=4, y=2$ ならば $xy=8$ は成り立ちますが、$xy=8$ ならば $x=4, y=2$ とは限りません。

よって、$x=4, y=2$ は $xy=8$ であるための十分条件です。

(2)

$x^2 - 6x + 9 = 0$ を因数分解すると、$(x-3)^2 = 0$ となります。

この方程式を解くと、$x=3$ が得られます。

逆に、$x=3$ を $x^2 - 6x + 9 = 0$ に代入すると、$3^2 - 6 \times 3 + 9 = 9 - 18 + 9 = 0$ となり、方程式は成立します。

したがって、$x^2 - 6x + 9 = 0$ ならば $x=3$ であり、$x=3$ ならば $x^2 - 6x + 9 = 0$ です。

よって、$x^2 - 6x + 9 = 0$ は $x=3$ であるための必要十分条件です。

(3)

$\triangle ABC$ が正三角形であるならば、$\triangle ABC$ は二等辺三角形です。

しかし、$\triangle ABC$ が二等辺三角形であるからといって、必ずしも正三角形であるとは限りません。例えば、二つの辺の長さが等しく、それらの辺の間の角が正三角形の角である60度でない場合、二等辺三角形にはなりますが、正三角形にはなりません。

したがって、$\triangle ABC$ が二等辺三角形であることは、$\triangle ABC$ が正三角形であるための必要条件です。

3. 最終的な答え

(1) 十分条件

(2) 必要十分条件

(3) 必要条件