数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が与えられたとき、数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める問題です。 (2) $S_n = 3^n + 1$ のときの一般項 $a_n$ を求めます。

はい、承知いたしました。問題文を読み解き、解いていきます。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が与えられたとき、数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める問題です。

(2) $S_n = 3^n + 1$ のときの一般項 $a_n$ を求めます。

2. 解き方の手順

数列の一般項 $a_n$ は、和 $S_n$ を用いて以下のように表すことができます。

$a_1 = S_1$

$a_n = S_n - S_{n-1} \quad (n \ge 2)$

まず、$a_1$ を求めます。

$S_1 = 3^1 + 1 = 3 + 1 = 4$

したがって、$a_1 = 4$

次に、$n \ge 2$ のとき、$a_n$ を求めます。

$a_n = S_n - S_{n-1} = (3^n + 1) - (3^{n-1} + 1) = 3^n - 3^{n-1} = 3^{n-1}(3 - 1) = 2 \cdot 3^{n-1}$

ここで、$n=1$ のとき、$2 \cdot 3^{1-1} = 2 \cdot 3^0 = 2 \cdot 1 = 2$ となり、$a_1 = 4$ と一致しません。

したがって、

$a_1 = 4$

$a_n = 2 \cdot 3^{n-1} \quad (n \ge 2)$

3. 最終的な答え

$a_1 = 4$

$a_n = 2 \cdot 3^{n-1} \quad (n \ge 2)$