関数 $y = -\sqrt{-x} + 6$ ($a < x \le 6$) の値域が $-2 < y \le 0$ となるような定数 $a$ の値を求めます。

1. 問題の内容

関数 $y = -\sqrt{-x} + 6$ ($a < x \le 6$) の値域が $-2 < y \le 0$ となるような定数 $a$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、関数 $y = -\sqrt{-x} + 6$ について考えます。

定義域は $-x \ge 0$ より、$x \le 0$ です。

$x$ が増加すると、$-x$ は減少し、$\sqrt{-x}$ は減少します。よって、$-\sqrt{-x}$ は増加し、$y = -\sqrt{-x} + 6$ も増加関数です。

$x=6$ のとき、$y = -\sqrt{-6} + 6$ は定義されていません。

しかし、問題文の条件より、$a < x \le 6$ なので、$x=6$のときの$y$の値として$0$を取るという状況を考えます。

$x = 6$ のとき、$y = 0$ になるので、

$-\sqrt{-6} + 6 = 0$

$\sqrt{-x} = 6$

$-x = 36$

$x = -36$

これは与えられた式とは無関係で、値域が$-2<y\le 0$となるように$a$を決めることを考えます。

$y$は増加関数なので、$x$が大きくなると$y$も大きくなります。

$x=6$のときに$y=0$となるように調整されているので、$x=a$のときに$y=-2$となるように$a$を決めます。

$x = a$ のとき $y = -2$ なので、

$-\sqrt{-a} + 6 = -2$

$-\sqrt{-a} = -8$

$\sqrt{-a} = 8$

$-a = 64$

$a = -64$

したがって、定数 $a$ の値は $-64$ です。

3. 最終的な答え

$a = -64$