与えられた不等式を満たす $x$ の範囲を求める問題です。 (1) $\frac{1}{2} \le 2^x \le 8$ (2) $1 \le 0.5^x \le 4$

1. 問題の内容

与えられた不等式を満たす $x$ の範囲を求める問題です。

(1) $\frac{1}{2} \le 2^x \le 8$

(2) $1 \le 0.5^x \le 4$

2. 解き方の手順

(1) $\frac{1}{2} \le 2^x \le 8$ を解く。

まず、それぞれの項を2の累乗で表します。

$\frac{1}{2} = 2^{-1}$

$8 = 2^3$

よって、不等式は次のようになります。

$2^{-1} \le 2^x \le 2^3$

底が2で1より大きいので、指数部分を比較できます。

$-1 \le x \le 3$

(2) $1 \le 0.5^x \le 4$ を解く。

まず、それぞれの項を0.5の累乗で表します。

$1 = 0.5^0$

$4 = 0.5^{-2}$

よって、不等式は次のようになります。

$0.5^0 \le 0.5^x \le 0.5^{-2}$

底が0.5で1より小さいので、指数部分を比較するときに不等号の向きが逆になります。

$0 \ge x \ge -2$

これは書き換えると次のようになります。

$-2 \le x \le 0$

3. 最終的な答え

(1) $-1 \le x \le 3$

(2) $-2 \le x \le 0$