次の式を計算します。 $\frac{2}{1+\sqrt{3}} + \frac{2}{\sqrt{3}+\sqrt{5}} + \frac{2}{\sqrt{5}+\sqrt{7}}$

1. 問題の内容

次の式を計算します。

$\frac{2}{1+\sqrt{3}} + \frac{2}{\sqrt{3}+\sqrt{5}} + \frac{2}{\sqrt{5}+\sqrt{7}}$

2. 解き方の手順

各項の分母を有理化します。

分母の有理化には、$a^2-b^2 = (a+b)(a-b)$を利用します。

第1項：

$\frac{2}{1+\sqrt{3}} = \frac{2(1-\sqrt{3})}{(1+\sqrt{3})(1-\sqrt{3})} = \frac{2(1-\sqrt{3})}{1-3} = \frac{2(1-\sqrt{3})}{-2} = -1+\sqrt{3}$

第2項：

$\frac{2}{\sqrt{3}+\sqrt{5}} = \frac{2(\sqrt{3}-\sqrt{5})}{(\sqrt{3}+\sqrt{5})(\sqrt{3}-\sqrt{5})} = \frac{2(\sqrt{3}-\sqrt{5})}{3-5} = \frac{2(\sqrt{3}-\sqrt{5})}{-2} = -\sqrt{3}+\sqrt{5}$

第3項：

$\frac{2}{\sqrt{5}+\sqrt{7}} = \frac{2(\sqrt{5}-\sqrt{7})}{(\sqrt{5}+\sqrt{7})(\sqrt{5}-\sqrt{7})} = \frac{2(\sqrt{5}-\sqrt{7})}{5-7} = \frac{2(\sqrt{5}-\sqrt{7})}{-2} = -\sqrt{5}+\sqrt{7}$

したがって、

$\frac{2}{1+\sqrt{3}} + \frac{2}{\sqrt{3}+\sqrt{5}} + \frac{2}{\sqrt{5}+\sqrt{7}} = (-1+\sqrt{3}) + (-\sqrt{3}+\sqrt{5}) + (-\sqrt{5}+\sqrt{7}) = -1 + \sqrt{3} - \sqrt{3} + \sqrt{5} - \sqrt{5} + \sqrt{7} = -1+\sqrt{7}$

3. 最終的な答え

$-1 + \sqrt{7}$