与えられた2つの関数 $f(x) = \frac{2}{x}$ と $g(x) = 3x^2 + 1$ について、合成関数 $(g \circ f)(x)$ と $(f \circ g)(x)$ をそれぞれ求める。

1. 問題の内容

与えられた2つの関数 $f(x) = \frac{2}{x}$ と $g(x) = 3x^2 + 1$ について、合成関数 $(g \circ f)(x)$ と $(f \circ g)(x)$ をそれぞれ求める。

2. 解き方の手順

(1) $(g \circ f)(x)$ を求める。

合成関数の定義より、$(g \circ f)(x) = g(f(x))$ である。

まず、$f(x)$ を $g(x)$ に代入する。

$g(f(x)) = g(\frac{2}{x}) = 3(\frac{2}{x})^2 + 1$

$= 3(\frac{4}{x^2}) + 1 = \frac{12}{x^2} + 1$

(2) $(f \circ g)(x)$ を求める。

合成関数の定義より、$(f \circ g)(x) = f(g(x))$ である。

まず、$g(x)$ を $f(x)$ に代入する。

$f(g(x)) = f(3x^2 + 1) = \frac{2}{3x^2 + 1}$

3. 最終的な答え

$(g \circ f)(x) = \frac{12}{x^2} + 1$

$(f \circ g)(x) = \frac{2}{3x^2 + 1}$