問題は、与えられた式の展開式を二項定理を使って求めることです。具体的には、以下の6つの式を展開する必要があります。 (1) $(x+2)^4$ (2) $(1-a)^5$ (3) $(a-b)^7$ (4) $(3x+2y)^5$ (5) $(x+\frac{1}{3})^6$ (6) $(x-\frac{1}{x})^7$

1. 問題の内容

問題は、与えられた式の展開式を二項定理を使って求めることです。具体的には、以下の6つの式を展開する必要があります。

(1) $(x+2)^4$

(2) $(1-a)^5$

(3) $(a-b)^7$

(4) $(3x+2y)^5$

(5) $(x+\frac{1}{3})^6$

(6) $(x-\frac{1}{x})^7$

2. 解き方の手順

二項定理は、一般に $(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} {}_n C_k a^{n-k} b^k$ で表されます。ここで、${}_n C_k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ は二項係数です。各問題に対して、この公式を適用します。

(1) $(x+2)^4 = \sum_{k=0}^{4} {}_4 C_k x^{4-k} 2^k$

$= {}_4 C_0 x^4 2^0 + {}_4 C_1 x^3 2^1 + {}_4 C_2 x^2 2^2 + {}_4 C_3 x^1 2^3 + {}_4 C_4 x^0 2^4$

$= 1 \cdot x^4 \cdot 1 + 4 \cdot x^3 \cdot 2 + 6 \cdot x^2 \cdot 4 + 4 \cdot x \cdot 8 + 1 \cdot 1 \cdot 16$

$= x^4 + 8x^3 + 24x^2 + 32x + 16$

(2) $(1-a)^5 = \sum_{k=0}^{5} {}_5 C_k 1^{5-k} (-a)^k$

$= {}_5 C_0 1^5 (-a)^0 + {}_5 C_1 1^4 (-a)^1 + {}_5 C_2 1^3 (-a)^2 + {}_5 C_3 1^2 (-a)^3 + {}_5 C_4 1^1 (-a)^4 + {}_5 C_5 1^0 (-a)^5$

$= 1 - 5a + 10a^2 - 10a^3 + 5a^4 - a^5$

(3) $(a-b)^7 = \sum_{k=0}^{7} {}_7 C_k a^{7-k} (-b)^k$

$= {}_7 C_0 a^7 (-b)^0 + {}_7 C_1 a^6 (-b)^1 + {}_7 C_2 a^5 (-b)^2 + {}_7 C_3 a^4 (-b)^3 + {}_7 C_4 a^3 (-b)^4 + {}_7 C_5 a^2 (-b)^5 + {}_7 C_6 a^1 (-b)^6 + {}_7 C_7 a^0 (-b)^7$

$= a^7 - 7a^6 b + 21a^5 b^2 - 35a^4 b^3 + 35a^3 b^4 - 21a^2 b^5 + 7ab^6 - b^7$

(4) $(3x+2y)^5 = \sum_{k=0}^{5} {}_5 C_k (3x)^{5-k} (2y)^k$

$= {}_5 C_0 (3x)^5 (2y)^0 + {}_5 C_1 (3x)^4 (2y)^1 + {}_5 C_2 (3x)^3 (2y)^2 + {}_5 C_3 (3x)^2 (2y)^3 + {}_5 C_4 (3x)^1 (2y)^4 + {}_5 C_5 (3x)^0 (2y)^5$

$= 1 \cdot 243x^5 \cdot 1 + 5 \cdot 81x^4 \cdot 2y + 10 \cdot 27x^3 \cdot 4y^2 + 10 \cdot 9x^2 \cdot 8y^3 + 5 \cdot 3x \cdot 16y^4 + 1 \cdot 1 \cdot 32y^5$

$= 243x^5 + 810x^4y + 1080x^3y^2 + 720x^2y^3 + 240xy^4 + 32y^5$

(5) $(x+\frac{1}{3})^6 = \sum_{k=0}^{6} {}_6 C_k x^{6-k} (\frac{1}{3})^k$

$= {}_6 C_0 x^6 (\frac{1}{3})^0 + {}_6 C_1 x^5 (\frac{1}{3})^1 + {}_6 C_2 x^4 (\frac{1}{3})^2 + {}_6 C_3 x^3 (\frac{1}{3})^3 + {}_6 C_4 x^2 (\frac{1}{3})^4 + {}_6 C_5 x^1 (\frac{1}{3})^5 + {}_6 C_6 x^0 (\frac{1}{3})^6$

$= x^6 + 2x^5 + \frac{5}{3}x^4 + \frac{20}{27}x^3 + \frac{5}{27}x^2 + \frac{2}{81}x + \frac{1}{729}$

(6) $(x-\frac{1}{x})^7 = \sum_{k=0}^{7} {}_7 C_k x^{7-k} (-\frac{1}{x})^k$

$= \sum_{k=0}^{7} {}_7 C_k x^{7-k} (-1)^k x^{-k}$

$= \sum_{k=0}^{7} {}_7 C_k (-1)^k x^{7-2k}$

$= x^7 - 7x^5 + 21x^3 - 35x + \frac{35}{x} - \frac{21}{x^3} + \frac{7}{x^5} - \frac{1}{x^7}$

3. 最終的な答え

(1) $x^4 + 8x^3 + 24x^2 + 32x + 16$

(2) $1 - 5a + 10a^2 - 10a^3 + 5a^4 - a^5$

(3) $a^7 - 7a^6 b + 21a^5 b^2 - 35a^4 b^3 + 35a^3 b^4 - 21a^2 b^5 + 7ab^6 - b^7$

(4) $243x^5 + 810x^4y + 1080x^3y^2 + 720x^2y^3 + 240xy^4 + 32y^5$

(5) $x^6 + 2x^5 + \frac{5}{3}x^4 + \frac{20}{27}x^3 + \frac{5}{27}x^2 + \frac{2}{81}x + \frac{1}{729}$

(6) $x^7 - 7x^5 + 21x^3 - 35x + \frac{35}{x} - \frac{21}{x^3} + \frac{7}{x^5} - \frac{1}{x^7}$