$\log_9 5 \cdot \log_5 27$ を底の変換公式を用いて簡単にせよ。

1. 問題の内容

$\log_9 5 \cdot \log_5 27$ を底の変換公式を用いて簡単にせよ。

2. 解き方の手順

底の変換公式を利用します。底の変換公式は、

$$\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$$

です。

まず、$\log_9 5$ を底を5に変換します。

$$\log_9 5 = \frac{\log_5 5}{\log_5 9} = \frac{1}{\log_5 9}$$

次に、$\log_5 27$ を計算します。$27 = 3^3$ なので、

$$\log_5 27 = \log_5 3^3 = 3 \log_5 3$$

また、$9 = 3^2$ なので、$\log_5 9 = \log_5 3^2 = 2 \log_5 3$ となります。

よって、

$$\log_9 5 = \frac{1}{2 \log_5 3}$$

したがって、

$$\log_9 5 \cdot \log_5 27 = \frac{1}{2 \log_5 3} \cdot 3 \log_5 3 = \frac{3}{2}$$

3. 最終的な答え

$\frac{3}{2}$