2次不等式 $x^2 + 3x + k > 0$ の解がすべての実数であるような定数 $k$ の値の範囲を求めます。

1. 問題の内容

2次不等式 $x^2 + 3x + k > 0$ の解がすべての実数であるような定数 $k$ の値の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

2次不等式 $ax^2 + bx + c > 0$ の解がすべての実数であるための条件は、$a>0$ かつ判別式 $D = b^2 - 4ac < 0$ です。

この問題では、$a=1$, $b=3$, $c=k$ ですから、$a=1 > 0$ は満たされています。

次に、判別式 $D$ を計算します。

$D = 3^2 - 4(1)(k) = 9 - 4k$

解がすべての実数であるためには、$D < 0$ である必要があります。

$9 - 4k < 0$

$4k > 9$

$k > \frac{9}{4}$

3. 最終的な答え

$k > \frac{9}{4}$