2次方程式 $x^2 - 2mx + m + 2 = 0$ が与えられています。 (1) 異なる2つの負の解を持つときの $m$ の範囲を求めます。 (2) 正の解と負の解を持つときの $m$ の範囲を求めます。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - 2mx + m + 2 = 0$ が与えられています。

(1) 異なる2つの負の解を持つときの $m$ の範囲を求めます。

(2) 正の解と負の解を持つときの $m$ の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 異なる2つの負の解を持つ場合

判別式を $D$、2つの解を $\alpha, \beta$ とすると、次の条件を満たす必要があります。

(i) $D > 0$ (異なる2つの実数解を持つ)

(ii) $\alpha + \beta < 0$ (解の和が負)

(iii) $\alpha \beta > 0$ (解の積が正)

まず、判別式 $D$ を計算します。

$D = (-2m)^2 - 4(m + 2) = 4m^2 - 4m - 8 = 4(m^2 - m - 2) = 4(m - 2)(m + 1)$

$D > 0$ より、

$4(m - 2)(m + 1) > 0$

$(m - 2)(m + 1) > 0$

$m < -1$ または $m > 2$

次に、解と係数の関係から、$\alpha + \beta = 2m$ と $\alpha \beta = m + 2$ が得られます。

$\alpha + \beta < 0$ より、$2m < 0$

$m < 0$

$\alpha \beta > 0$ より、$m + 2 > 0$

$m > -2$

以上の条件をすべて満たす $m$ の範囲を求めます。

$m < -1$ または $m > 2$

$m < 0$

$m > -2$

これらを数直線で考えると、$-2 < m < -1$ が得られます。

(2) 正の解と負の解を持つ場合

2つの解 $\alpha, \beta$ の符号が異なるので、$\alpha \beta < 0$ となる必要があります。

解と係数の関係から、$\alpha \beta = m + 2$ なので、

$m + 2 < 0$

$m < -2$

3. 最終的な答え

(1) $-2 < m < -1$

(2) $m < -2$