$x, y$ は実数とする。次の条件が、与えられた命題に対して、必要条件であるが十分条件でない、十分条件であるが必要条件でない、必要十分条件である、のいずれに該当するかを答える。 (1) $x=y=2$ は、$2x-y=2y-x=2$ であるための条件。 (2) $x=2$ は、$x^2-x-2=0$ であるための条件。 (3) $\triangle ABC \backsim \triangle PQR$ は、$\triangle ABC \equiv \triangle PQR$ であるための条件。 (4) $|x|=0$ は、$x=0$ であるための条件。

1. 問題の内容

$x, y$ は実数とする。次の条件が、与えられた命題に対して、必要条件であるが十分条件でない、十分条件であるが必要条件でない、必要十分条件である、のいずれに該当するかを答える。

(1) $x=y=2$ は、$2x-y=2y-x=2$ であるための条件。

(2) $x=2$ は、$x^2-x-2=0$ であるための条件。

(3) $\triangle ABC \backsim \triangle PQR$ は、$\triangle ABC \equiv \triangle PQR$ であるための条件。

(4) $|x|=0$ は、$x=0$ であるための条件。

2. 解き方の手順

(1) $x=y=2$ のとき、$2x-y = 2(2)-2 = 2$、$2y-x = 2(2)-2 = 2$ なので、$2x-y=2y-x=2$ が成り立つ。

したがって、$x=y=2$ ならば $2x-y=2y-x=2$ は真。

$2x-y=2y-x=2$ のとき、$2x-y=2$ かつ $2y-x=2$ なので、連立方程式を解くと、

$2x-y=2$ を $x$ について解くと $x = (y+2)/2$ 。

$2y-x=2$ に代入すると、$2y - (y+2)/2 = 2$ より $4y-y-2 = 4$ なので、$3y=6$ となり、$y=2$。

すると、$x = (2+2)/2 = 2$ となり、$x=2$。よって、$x=y=2$。

したがって、$2x-y=2y-x=2$ ならば $x=y=2$ は真。

よって、$x=y=2$ は $2x-y=2y-x=2$ であるための必要十分条件。

(2) $x=2$ のとき、$x^2-x-2 = 2^2 - 2 - 2 = 4-2-2 = 0$ なので、$x=2$ ならば $x^2-x-2=0$ は真。

$x^2-x-2=0$ を因数分解すると、$(x-2)(x+1)=0$ となるので、$x=2$ または $x=-1$。

したがって、$x^2-x-2=0$ ならば $x=2$ は偽。

よって、$x=2$ は $x^2-x-2=0$ であるための十分条件であるが必要条件ではない。

(3) $\triangle ABC \equiv \triangle PQR$ であれば、$\triangle ABC \backsim \triangle PQR$ は真。

$\triangle ABC \backsim \triangle PQR$ であっても、$\triangle ABC \equiv \triangle PQR$ とは限らない。

よって、$\triangle ABC \backsim \triangle PQR$ は、$\triangle ABC \equiv \triangle PQR$ であるための必要条件であるが十分条件ではない。

(4) $|x|=0$ のとき、$x=0$。

$x=0$ のとき、$|x|=|0|=0$。

したがって、$|x|=0$ ならば $x=0$ は真であり、$x=0$ ならば $|x|=0$ も真である。

よって、$|x|=0$ は、$x=0$ であるための必要十分条件。

3. 最終的な答え

(1) 必要十分条件である

(2) 十分条件であるが必要条件でない

(3) 必要条件であるが十分条件でない

(4) 必要十分条件である